Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108549 / 100260
↖ ↑ ↗
← S 68.564399°
E118.138733°		 ← 111.62 m → S 68.564399°
E118.141479°		 →
↑
111.62 m
↓
↑
111.62 m
↓
S 68.565403°
E118.138733°		 ← 111.61 m →
12 459 m²		 S 68.565403°
E118.141479°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108549 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828166961669922 y=0.764926910400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828166961669922 × 217)
    floor (0.828166961669922 × 131072)
    floor (108549.5)     		tx = 108549
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764926910400391 × 217)
    floor (0.764926910400391 × 131072)
    floor (100260.5)     		ty = 100260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108549 / 100260 ti = "17/108549/100260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108549/100260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108549 ÷ 217
    108549 ÷ 131072     		x = 0.828163146972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100260 ÷ 217
    100260 ÷ 131072     		y = 0.764923095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828163146972656 × 2 - 1) × π
    0.656326293945312 × 3.1415926535     		Λ = 2.06190986
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764923095703125 × 2 - 1) × π
    -0.52984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66456090240683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06190986} λ = 2.06190986}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66456090240683))-π/2
    2×atan(0.189273749385835)-π/2
    2×0.187060906816664-π/2
    0.374121813633328-1.57079632675     		φ = -1.19667451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06190986} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.138733°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19667451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.564399°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108549 KachelY 100260 2.06190986 -1.19667451 118.138733 -68.564399
    Oben rechts KachelX + 1 108550 KachelY 100260 2.06195780 -1.19667451 118.141479 -68.564399
    Unten links KachelX 108549 KachelY + 1 100261 2.06190986 -1.19669203 118.138733 -68.565403
    Unten rechts KachelX + 1 108550 KachelY + 1 100261 2.06195780 -1.19669203 118.141479 -68.565403
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19667451--1.19669203) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dl = 111.619919999249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19667451--1.19669203) × R
    1.75199999998821e-05 × 6371000     		dr = 111.619919999249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06190986-2.06195780) × cos(-1.19667451) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365455231789566 × 6371000     		do = 111.619434606127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06190986-2.06195780) × cos(-1.19669203) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.365438923610845 × 6371000     		du = 111.614453668573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19667451)-sin(-1.19669203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365455231789566-0.365438923610845)×R²
    abs(2.06195780-2.06190986)×1.63081787210584e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63081787210584e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63081787210584e-05×40589641000000     		ar = 12458.6743756188m²