Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108540 / 101659
↖ ↑ ↗
← S 69.925587°
E118.114014°		 ← 104.83 m → S 69.925587°
E118.116760°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.926530°
E118.114014°		 ← 104.83 m →
10 993 m²		 S 69.926530°
E118.116760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828098297119141 y=0.775600433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828098297119141 × 217)
    floor (0.828098297119141 × 131072)
    floor (108540.5)     		tx = 108540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775600433349609 × 217)
    floor (0.775600433349609 × 131072)
    floor (101659.5)     		ty = 101659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108540 / 101659 ti = "17/108540/101659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108540/101659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108540 ÷ 217
    108540 ÷ 131072     		x = 0.828094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101659 ÷ 217
    101659 ÷ 131072     		y = 0.775596618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828094482421875 × 2 - 1) × π
    0.65618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06147843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775596618652344 × 2 - 1) × π
    -0.551193237304688 × 3.1415926535     		Φ = -1.73162462497529
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06147843} λ = 2.06147843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73162462497529))-π/2
    2×atan(0.176996623125858)-π/2
    2×0.17518230097228-π/2
    0.350364601944561-1.57079632675     		φ = -1.22043172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06147843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.114014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22043172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.925587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108540 KachelY 101659 2.06147843 -1.22043172 118.114014 -69.925587
    Oben rechts KachelX + 1 108541 KachelY 101659 2.06152637 -1.22043172 118.116760 -69.925587
    Unten links KachelX 108540 KachelY + 1 101660 2.06147843 -1.22044818 118.114014 -69.926530
    Unten rechts KachelX + 1 108541 KachelY + 1 101660 2.06152637 -1.22044818 118.116760 -69.926530
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22043172--1.22044818) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dl = 104.866659999267m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22043172--1.22044818) × R
    1.64599999998849e-05 × 6371000     		dr = 104.866659999267m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06147843-2.06152637) × cos(-1.22043172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343240286329813 × 6371000     		do = 104.834418450026m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06147843-2.06152637) × cos(-1.22044818) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343224826267368 × 6371000     		du = 104.829696549013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22043172)-sin(-1.22044818))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343240286329813-0.343224826267368)×R²
    abs(2.06152637-2.06147843)×1.54600624457935e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54600624457935e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54600624457935e-05×40589641000000     		ar = 10993.38773104m²