Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108540 / 101657
↖ ↑ ↗
← S 69.923702°
E118.114014°		 ← 104.84 m → S 69.923702°
E118.116760°		 →
↑
104.80 m
↓
↑
104.80 m
↓
S 69.924644°
E118.114014°		 ← 104.84 m →
10 988 m²		 S 69.924644°
E118.116760°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108540 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828098297119141 y=0.775585174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828098297119141 × 217)
    floor (0.828098297119141 × 131072)
    floor (108540.5)     		tx = 108540
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775585174560547 × 217)
    floor (0.775585174560547 × 131072)
    floor (101657.5)     		ty = 101657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108540 / 101657 ti = "17/108540/101657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108540/101657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108540 ÷ 217
    108540 ÷ 131072     		x = 0.828094482421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101657 ÷ 217
    101657 ÷ 131072     		y = 0.775581359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828094482421875 × 2 - 1) × π
    0.65618896484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06147843
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775581359863281 × 2 - 1) × π
    -0.551162719726562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73152875117605
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06147843} λ = 2.06147843}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73152875117605))-π/2
    2×atan(0.177013593278053)-π/2
    2×0.175198755588062-π/2
    0.350397511176124-1.57079632675     		φ = -1.22039882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06147843} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.114014°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22039882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.923702°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108540 KachelY 101657 2.06147843 -1.22039882 118.114014 -69.923702
    Oben rechts KachelX + 1 108541 KachelY 101657 2.06152637 -1.22039882 118.116760 -69.923702
    Unten links KachelX 108540 KachelY + 1 101658 2.06147843 -1.22041527 118.114014 -69.924644
    Unten rechts KachelX + 1 108541 KachelY + 1 101658 2.06152637 -1.22041527 118.116760 -69.924644
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22039882--1.22041527) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dl = 104.802949999654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22039882--1.22041527) × R
    1.64499999999457e-05 × 6371000     		dr = 104.802949999654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06147843-2.06152637) × cos(-1.22039882) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343271187390991 × 6371000     		do = 104.843856429503m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06147843-2.06152637) × cos(-1.22041527) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343255736906845 × 6371000     		du = 104.83913745395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22039882)-sin(-1.22041527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343271187390991-0.343255736906845)×R²
    abs(2.06152637-2.06147843)×1.54504841455849e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54504841455849e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54504841455849e-05×40589641000000     		ar = 10987.6981622627m²