Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108535 / 42410
↖ ↑ ↗
← N 53.471700°
E118.100281°		 ← 181.76 m → N 53.471700°
E118.103027°		 →
↑
181.76 m
↓
↑
181.76 m
↓
N 53.470066°
E118.100281°		 ← 181.76 m →
33 038 m²		 N 53.470066°
E118.103027°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108535 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828060150146484 y=0.323566436767578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828060150146484 × 217)
    floor (0.828060150146484 × 131072)
    floor (108535.5)     		tx = 108535
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323566436767578 × 217)
    floor (0.323566436767578 × 131072)
    floor (42410.5)     		ty = 42410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108535 / 42410 ti = "17/108535/42410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108535/42410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108535 ÷ 217
    108535 ÷ 131072     		x = 0.828056335449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42410 ÷ 217
    42410 ÷ 131072     		y = 0.323562622070312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828056335449219 × 2 - 1) × π
    0.656112670898438 × 3.1415926535     		Λ = 2.06123875
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323562622070312 × 2 - 1) × π
    0.352874755859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10858874061342
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06123875} λ = 2.06123875}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10858874061342))-π/2
    2×atan(3.0300791479429)-π/2
    2×1.25202677844612-π/2
    2.50405355689223-1.57079632675     		φ = 0.93325723
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06123875} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.100281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93325723 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.471700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108535 KachelY 42410 2.06123875 0.93325723 118.100281 53.471700
    Oben rechts KachelX + 1 108536 KachelY 42410 2.06128668 0.93325723 118.103027 53.471700
    Unten links KachelX 108535 KachelY + 1 42411 2.06123875 0.93322870 118.100281 53.470066
    Unten rechts KachelX + 1 108536 KachelY + 1 42411 2.06128668 0.93322870 118.103027 53.470066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93325723-0.93322870) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dl = 181.764630000169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93325723-0.93322870) × R
    2.85300000000266e-05 × 6371000     		dr = 181.764630000169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06123875-2.06128668) × cos(0.93325723) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595219755013135 × 6371000     		do = 181.757512687025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06123875-2.06128668) × cos(0.93322870) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.595242680422361 × 6371000     		du = 181.764513236525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93325723)-sin(0.93322870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595219755013135-0.595242680422361)×R²
    abs(2.06128668-2.06123875)×2.29254092257714e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29254092257714e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29254092257714e-05×40589641000000     		ar = 33037.7232717427m²