Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108534 / 42415
↖ ↑ ↗
← N 53.463526°
E118.097534°		 ← 181.83 m → N 53.463526°
E118.100281°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.461890°
E118.097534°		 ← 181.84 m →
33 063 m²		 N 53.461890°
E118.100281°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108534 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828052520751953 y=0.323604583740234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828052520751953 × 217)
    floor (0.828052520751953 × 131072)
    floor (108534.5)     		tx = 108534
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323604583740234 × 217)
    floor (0.323604583740234 × 131072)
    floor (42415.5)     		ty = 42415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108534 / 42415 ti = "17/108534/42415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108534/42415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108534 ÷ 217
    108534 ÷ 131072     		x = 0.828048706054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42415 ÷ 217
    42415 ÷ 131072     		y = 0.323600769042969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828048706054688 × 2 - 1) × π
    0.656097412109375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06119081
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323600769042969 × 2 - 1) × π
    0.352798461914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10834905611532
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06119081} λ = 2.06119081}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10834905611532))-π/2
    2×atan(3.02935297197316)-π/2
    2×1.25195543910243-π/2
    2.50391087820487-1.57079632675     		φ = 0.93311455
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06119081} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.097534°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93311455 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.463526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108534 KachelY 42415 2.06119081 0.93311455 118.097534 53.463526
    Oben rechts KachelX + 1 108535 KachelY 42415 2.06123875 0.93311455 118.100281 53.463526
    Unten links KachelX 108534 KachelY + 1 42416 2.06119081 0.93308601 118.097534 53.461890
    Unten rechts KachelX + 1 108535 KachelY + 1 42416 2.06123875 0.93308601 118.100281 53.461890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93311455-0.93308601) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93311455-0.93308601) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06119081-2.06123875) × cos(0.93311455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595334401318376 × 6371000     		do = 181.830450070003m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06119081-2.06123875) × cos(0.93308601) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595357332338995 × 6371000     		du = 181.837453793944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93311455)-sin(0.93308601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595334401318376-0.595357332338995)×R²
    abs(2.06123875-2.06119081)×2.29310206186772e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29310206186772e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29310206186772e-05×40589641000000     		ar = 33062.5656375313m²