Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 10853 / 4574
↖ ↑ ↗
← N 82.333848°
W120.382690°		 ← 81.48 m → N 82.333848°
W120.377197°		 →
↑
81.49 m
↓
↑
81.49 m
↓
N 82.333115°
W120.382690°		 ← 81.49 m →
6 640 m²		 N 82.333115°
W120.377197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10853 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165611267089844 y=0.0698013305664062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165611267089844 × 216)
    floor (0.165611267089844 × 65536)
    floor (10853.5)     		tx = 10853
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0698013305664062 × 216)
    floor (0.0698013305664062 × 65536)
    floor (4574.5)     		ty = 4574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10853 / 4574 ti = "16/10853/4574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10853/4574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10853 ÷ 216
    10853 ÷ 65536     		x = 0.165603637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4574 ÷ 216
    4574 ÷ 65536     		y = 0.069793701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165603637695312 × 2 - 1) × π
    -0.668792724609375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10107431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.069793701171875 × 2 - 1) × π
    0.86041259765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.70306589577573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10107431} λ = -2.10107431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.70306589577573))-π/2
    2×atan(14.9254214356685)-π/2
    2×1.50389652782106-π/2
    3.00779305564211-1.57079632675     		φ = 1.43699673
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10107431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.382690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43699673 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.333848°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10853 KachelY 4574 -2.10107431 1.43699673 -120.382690 82.333848
    Oben rechts KachelX + 1 10854 KachelY 4574 -2.10097844 1.43699673 -120.377197 82.333848
    Unten links KachelX 10853 KachelY + 1 4575 -2.10107431 1.43698394 -120.382690 82.333115
    Unten rechts KachelX + 1 10854 KachelY + 1 4575 -2.10097844 1.43698394 -120.377197 82.333115
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43699673-1.43698394) × R
    1.27899999999848e-05 × 6371000     		dl = 81.4850899999029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43699673-1.43698394) × R
    1.27899999999848e-05 × 6371000     		dr = 81.4850899999029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10107431--2.10097844) × cos(1.43699673) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133400733188952 × 6371000     		do = 81.4795363408434m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10107431--2.10097844) × cos(1.43698394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.133413408863321 × 6371000     		du = 81.4872784877246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43699673)-sin(1.43698394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.133400733188952-0.133413408863321)×R²
    abs(-2.10097844--2.10107431)×1.26756743691614e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.26756743691614e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.26756743691614e-05×40589641000000     		ar = 6639.68278685082m²