Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108529 / 101623
↖ ↑ ↗
← S 69.891621°
E118.083802°		 ← 104.98 m → S 69.891621°
E118.086548°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.892565°
E118.083802°		 ← 104.98 m →
11 022 m²		 S 69.892565°
E118.086548°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828014373779297 y=0.775325775146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828014373779297 × 217)
    floor (0.828014373779297 × 131072)
    floor (108529.5)     		tx = 108529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775325775146484 × 217)
    floor (0.775325775146484 × 131072)
    floor (101623.5)     		ty = 101623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108529 / 101623 ti = "17/108529/101623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108529/101623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108529 ÷ 217
    108529 ÷ 131072     		x = 0.828010559082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101623 ÷ 217
    101623 ÷ 131072     		y = 0.775321960449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.828010559082031 × 2 - 1) × π
    0.656021118164062 × 3.1415926535     		Λ = 2.06095113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775321960449219 × 2 - 1) × π
    -0.550643920898438 × 3.1415926535     		Φ = -1.72989889658897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06095113} λ = 2.06095113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72989889658897))-π/2
    2×atan(0.177302334934571)-π/2
    2×0.175478710862202-π/2
    0.350957421724403-1.57079632675     		φ = -1.21983891
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06095113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.083802°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21983891 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.891621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108529 KachelY 101623 2.06095113 -1.21983891 118.083802 -69.891621
    Oben rechts KachelX + 1 108530 KachelY 101623 2.06099906 -1.21983891 118.086548 -69.891621
    Unten links KachelX 108529 KachelY + 1 101624 2.06095113 -1.21985539 118.083802 -69.892565
    Unten rechts KachelX + 1 108530 KachelY + 1 101624 2.06099906 -1.21985539 118.086548 -69.892565
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21983891--1.21985539) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21983891--1.21985539) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06095113-2.06099906) × cos(-1.21983891) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343797021371901 × 6371000     		do = 104.982556354141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06095113-2.06099906) × cos(-1.21985539) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343781545880322 × 6371000     		du = 104.977830726618m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21983891)-sin(-1.21985539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343797021371901-0.343781545880322)×R²
    abs(2.06099906-2.06095113)×1.54754915784872e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54754915784872e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54754915784872e-05×40589641000000     		ar = 11022.2988391479m²