Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108528 / 42417
↖ ↑ ↗
← N 53.460255°
E118.081055°		 ← 181.84 m → N 53.460255°
E118.083802°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.458620°
E118.081055°		 ← 181.85 m →
33 065 m²		 N 53.458620°
E118.083802°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.828006744384766 y=0.323619842529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.828006744384766 × 217)
    floor (0.828006744384766 × 131072)
    floor (108528.5)     		tx = 108528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323619842529297 × 217)
    floor (0.323619842529297 × 131072)
    floor (42417.5)     		ty = 42417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108528 / 42417 ti = "17/108528/42417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108528/42417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108528 ÷ 217
    108528 ÷ 131072     		x = 0.8280029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42417 ÷ 217
    42417 ÷ 131072     		y = 0.323616027832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8280029296875 × 2 - 1) × π
    0.656005859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06090319
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323616027832031 × 2 - 1) × π
    0.352767944335938 × 3.1415926535     		Φ = 1.10825318231608
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06090319} λ = 2.06090319}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10825318231608))-π/2
    2×atan(3.02906255031663)-π/2
    2×1.25192689951784-π/2
    2.50385379903569-1.57079632675     		φ = 0.93305747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06090319} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.081055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93305747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.460255°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108528 KachelY 42417 2.06090319 0.93305747 118.081055 53.460255
    Oben rechts KachelX + 1 108529 KachelY 42417 2.06095113 0.93305747 118.083802 53.460255
    Unten links KachelX 108528 KachelY + 1 42418 2.06090319 0.93302893 118.081055 53.458620
    Unten rechts KachelX + 1 108529 KachelY + 1 42418 2.06095113 0.93302893 118.083802 53.458620
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93305747-0.93302893) × R
    2.85400000000768e-05 × 6371000     		dl = 181.82834000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93305747-0.93302893) × R
    2.85400000000768e-05 × 6371000     		dr = 181.82834000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06090319-2.06095113) × cos(0.93305747) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595380262874676 × 6371000     		do = 181.844457369773m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06090319-2.06095113) × cos(0.93302893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595403192925402 × 6371000     		du = 181.851460797484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93305747)-sin(0.93302893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595380262874676-0.595403192925402)×R²
    abs(2.06095113-2.06090319)×2.29300507254004e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29300507254004e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29300507254004e-05×40589641000000     		ar = 33065.1125349431m²