Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108527 / 101706
↖ ↑ ↗
← S 69.969849°
E118.078308°		 ← 104.61 m → S 69.969849°
E118.081055°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.970790°
E118.078308°		 ← 104.61 m →
10 943 m²		 S 69.970790°
E118.081055°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108527 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101706 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827999114990234 y=0.775959014892578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827999114990234 × 217)
    floor (0.827999114990234 × 131072)
    floor (108527.5)     		tx = 108527
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775959014892578 × 217)
    floor (0.775959014892578 × 131072)
    floor (101706.5)     		ty = 101706
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108527 / 101706 ti = "17/108527/101706"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108527/101706.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108527 ÷ 217
    108527 ÷ 131072     		x = 0.827995300292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101706 ÷ 217
    101706 ÷ 131072     		y = 0.775955200195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827995300292969 × 2 - 1) × π
    0.655990600585938 × 3.1415926535     		Λ = 2.06085525
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775955200195312 × 2 - 1) × π
    -0.551910400390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73387765925743
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06085525} λ = 2.06085525}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73387765925743))-π/2
    2×atan(0.17659829256084)-π/2
    2×0.174796043784424-π/2
    0.349592087568848-1.57079632675     		φ = -1.22120424
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06085525} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.078308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22120424 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.969849°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108527 KachelY 101706 2.06085525 -1.22120424 118.078308 -69.969849
    Oben rechts KachelX + 1 108528 KachelY 101706 2.06090319 -1.22120424 118.081055 -69.969849
    Unten links KachelX 108527 KachelY + 1 101707 2.06085525 -1.22122066 118.078308 -69.970790
    Unten rechts KachelX + 1 108528 KachelY + 1 101707 2.06090319 -1.22122066 118.081055 -69.970790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22120424--1.22122066) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22120424--1.22122066) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06085525-2.06090319) × cos(-1.22120424) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342514596404065 × 6371000     		do = 104.612774067444m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06085525-2.06090319) × cos(-1.22122066) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.342499169562523 × 6371000     		du = 104.608062312951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22120424)-sin(-1.22122066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342514596404065-0.342499169562523)×R²
    abs(2.06090319-2.06085525)×1.54268415418213e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54268415418213e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54268415418213e-05×40589641000000     		ar = 10943.4862381194m²