Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108526 / 42414
↖ ↑ ↗
← N 53.465161°
E118.075561°		 ← 181.82 m → N 53.465161°
E118.078308°		 →
↑
181.83 m
↓
↑
181.83 m
↓
N 53.463526°
E118.075561°		 ← 181.83 m →
33 061 m²		 N 53.463526°
E118.078308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827991485595703 y=0.323596954345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827991485595703 × 217)
    floor (0.827991485595703 × 131072)
    floor (108526.5)     		tx = 108526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323596954345703 × 217)
    floor (0.323596954345703 × 131072)
    floor (42414.5)     		ty = 42414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108526 / 42414 ti = "17/108526/42414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108526/42414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108526 ÷ 217
    108526 ÷ 131072     		x = 0.827987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42414 ÷ 217
    42414 ÷ 131072     		y = 0.323593139648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827987670898438 × 2 - 1) × π
    0.655975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06080731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323593139648438 × 2 - 1) × π
    0.352813720703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.10839699301494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06080731} λ = 2.06080731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10839699301494))-π/2
    2×atan(3.02949819324319)-π/2
    2×1.25196970807033-π/2
    2.50393941614066-1.57079632675     		φ = 0.93314309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06080731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.075561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93314309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.465161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108526 KachelY 42414 2.06080731 0.93314309 118.075561 53.465161
    Oben rechts KachelX + 1 108527 KachelY 42414 2.06085525 0.93314309 118.078308 53.465161
    Unten links KachelX 108526 KachelY + 1 42415 2.06080731 0.93311455 118.075561 53.463526
    Unten rechts KachelX + 1 108527 KachelY + 1 42415 2.06085525 0.93311455 118.078308 53.463526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93314309-0.93311455) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dl = 181.828339999782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93314309-0.93311455) × R
    2.85399999999658e-05 × 6371000     		dr = 181.828339999782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(0.93314309) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595311469812839 × 6371000     		do = 181.823446197955m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(0.93311455) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.595334401318376 × 6371000     		du = 181.830450070003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93314309)-sin(0.93311455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.595311469812839-0.595334401318376)×R²
    abs(2.06085525-2.06080731)×2.2931505537449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2931505537449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2931505537449e-05×40589641000000     		ar = 33061.292148751m²