Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108526 / 101622
↖ ↑ ↗
← S 69.890676°
E118.075561°		 ← 105.01 m → S 69.890676°
E118.078308°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.891621°
E118.075561°		 ← 105 m →
11 032 m²		 S 69.891621°
E118.078308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101622 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827991485595703 y=0.775318145751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827991485595703 × 217)
    floor (0.827991485595703 × 131072)
    floor (108526.5)     		tx = 108526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775318145751953 × 217)
    floor (0.775318145751953 × 131072)
    floor (101622.5)     		ty = 101622
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108526 / 101622 ti = "17/108526/101622"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108526/101622.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108526 ÷ 217
    108526 ÷ 131072     		x = 0.827987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101622 ÷ 217
    101622 ÷ 131072     		y = 0.775314331054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827987670898438 × 2 - 1) × π
    0.655975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06080731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775314331054688 × 2 - 1) × π
    -0.550628662109375 × 3.1415926535     		Φ = -1.72985095968935
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06080731} λ = 2.06080731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72985095968935))-π/2
    2×atan(0.177310834462522)-π/2
    2×0.175486951329434-π/2
    0.350973902658868-1.57079632675     		φ = -1.21982242
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06080731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.075561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21982242 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.890676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108526 KachelY 101622 2.06080731 -1.21982242 118.075561 -69.890676
    Oben rechts KachelX + 1 108527 KachelY 101622 2.06085525 -1.21982242 118.078308 -69.890676
    Unten links KachelX 108526 KachelY + 1 101623 2.06080731 -1.21983891 118.075561 -69.891621
    Unten rechts KachelX + 1 108527 KachelY + 1 101623 2.06085525 -1.21983891 118.078308 -69.891621
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21982242--1.21983891) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21982242--1.21983891) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(-1.21982242) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.34381250616049 × 6371000     		do = 105.009189115253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(-1.21983891) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343797021371901 × 6371000     		du = 105.00445966224m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21982242)-sin(-1.21983891))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34381250616049-0.343797021371901)×R²
    abs(2.06085525-2.06080731)×1.54847885897036e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54847885897036e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54847885897036e-05×40589641000000     		ar = 11031.7849053281m²