Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108526 / 101614
↖ ↑ ↗
← S 69.883121°
E118.075561°		 ← 105.05 m → S 69.883121°
E118.078308°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.884066°
E118.075561°		 ← 105.04 m →
11 036 m²		 S 69.884066°
E118.078308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108526 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101614 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827991485595703 y=0.775257110595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827991485595703 × 217)
    floor (0.827991485595703 × 131072)
    floor (108526.5)     		tx = 108526
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775257110595703 × 217)
    floor (0.775257110595703 × 131072)
    floor (101614.5)     		ty = 101614
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108526 / 101614 ti = "17/108526/101614"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108526/101614.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108526 ÷ 217
    108526 ÷ 131072     		x = 0.827987670898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101614 ÷ 217
    101614 ÷ 131072     		y = 0.775253295898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827987670898438 × 2 - 1) × π
    0.655975341796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06080731
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775253295898438 × 2 - 1) × π
    -0.550506591796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72946746449239
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06080731} λ = 2.06080731}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72946746449239))-π/2
    2×atan(0.177378845356)-π/2
    2×0.175552888422693-π/2
    0.351105776845387-1.57079632675     		φ = -1.21969055
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06080731} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.075561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21969055 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.883121°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108526 KachelY 101614 2.06080731 -1.21969055 118.075561 -69.883121
    Oben rechts KachelX + 1 108527 KachelY 101614 2.06085525 -1.21969055 118.078308 -69.883121
    Unten links KachelX 108526 KachelY + 1 101615 2.06080731 -1.21970704 118.075561 -69.884066
    Unten rechts KachelX + 1 108527 KachelY + 1 101615 2.06085525 -1.21970704 118.078308 -69.884066
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21969055--1.21970704) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21969055--1.21970704) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(-1.21969055) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343936334153584 × 6371000     		do = 105.047009371677m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06080731-2.06085525) × cos(-1.21970704) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343920850112744 × 6371000     		du = 105.042280147045m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21969055)-sin(-1.21970704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343936334153584-0.343920850112744)×R²
    abs(2.06085525-2.06080731)×1.5484040839342e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5484040839342e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5484040839342e-05×40589641000000     		ar = 11035.7582300299m²