Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108525 / 42543
↖ ↑ ↗
← N 53.253712°
E118.072815°		 ← 182.69 m → N 53.253712°
E118.075561°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 53.252069°
E118.072815°		 ← 182.70 m →
33 382 m²		 N 53.252069°
E118.075561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108525 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827983856201172 y=0.324581146240234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827983856201172 × 217)
    floor (0.827983856201172 × 131072)
    floor (108525.5)     		tx = 108525
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324581146240234 × 217)
    floor (0.324581146240234 × 131072)
    floor (42543.5)     		ty = 42543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108525 / 42543 ti = "17/108525/42543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108525/42543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108525 ÷ 217
    108525 ÷ 131072     		x = 0.827980041503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42543 ÷ 217
    42543 ÷ 131072     		y = 0.324577331542969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827980041503906 × 2 - 1) × π
    0.655960083007812 × 3.1415926535     		Λ = 2.06075938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324577331542969 × 2 - 1) × π
    0.350845336914062 × 3.1415926535     		Φ = 1.10221313296395
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06075938} λ = 2.06075938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10221313296395))-π/2
    2×atan(3.01082200537244)-π/2
    2×1.25012447041304-π/2
    2.50024894082608-1.57079632675     		φ = 0.92945261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06075938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.072815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92945261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.253712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108525 KachelY 42543 2.06075938 0.92945261 118.072815 53.253712
    Oben rechts KachelX + 1 108526 KachelY 42543 2.06080731 0.92945261 118.075561 53.253712
    Unten links KachelX 108525 KachelY + 1 42544 2.06075938 0.92942393 118.072815 53.252069
    Unten rechts KachelX + 1 108526 KachelY + 1 42544 2.06080731 0.92942393 118.075561 53.252069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92945261-0.92942393) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dl = 182.72028000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92945261-0.92942393) × R
    2.86800000000031e-05 × 6371000     		dr = 182.72028000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06075938-2.06080731) × cos(0.92945261) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598272691438592 × 6371000     		do = 182.689763551364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06075938-2.06080731) × cos(0.92942393) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.598295672263515 × 6371000     		du = 182.696781022713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92945261)-sin(0.92942393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598272691438592-0.598295672263515)×R²
    abs(2.06080731-2.06075938)×2.29808249225805e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29808249225805e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29808249225805e-05×40589641000000     		ar = 33381.7658685495m²