Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108524 / 42548
↖ ↑ ↗
← N 53.245495°
E118.070068°		 ← 182.76 m → N 53.245495°
E118.072815°		 →
↑
182.72 m
↓
↑
182.72 m
↓
N 53.243852°
E118.070068°		 ← 182.77 m →
33 395 m²		 N 53.243852°
E118.072815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827976226806641 y=0.324619293212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827976226806641 × 217)
    floor (0.827976226806641 × 131072)
    floor (108524.5)     		tx = 108524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324619293212891 × 217)
    floor (0.324619293212891 × 131072)
    floor (42548.5)     		ty = 42548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108524 / 42548 ti = "17/108524/42548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108524/42548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108524 ÷ 217
    108524 ÷ 131072     		x = 0.827972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42548 ÷ 217
    42548 ÷ 131072     		y = 0.324615478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827972412109375 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06071144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324615478515625 × 2 - 1) × π
    0.35076904296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.10197344846585
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06071144} λ = 2.06071144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10197344846585))-π/2
    2×atan(3.01010044448814)-π/2
    2×1.25005276518324-π/2
    2.50010553036649-1.57079632675     		φ = 0.92930920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06071144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92930920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.245495°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108524 KachelY 42548 2.06071144 0.92930920 118.070068 53.245495
    Oben rechts KachelX + 1 108525 KachelY 42548 2.06075938 0.92930920 118.072815 53.245495
    Unten links KachelX 108524 KachelY + 1 42549 2.06071144 0.92928052 118.070068 53.243852
    Unten rechts KachelX + 1 108525 KachelY + 1 42549 2.06075938 0.92928052 118.072815 53.243852
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92930920-0.92928052) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dl = 182.720279999313m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92930920-0.92928052) × R
    2.86799999998921e-05 × 6371000     		dr = 182.720279999313m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06071144-2.06075938) × cos(0.92930920) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598387598653849 × 6371000     		do = 182.762975125555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06071144-2.06075938) × cos(0.92928052) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598410577017793 × 6371000     		du = 182.769993309366m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92930920)-sin(0.92928052))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598387598653849-0.598410577017793)×R²
    abs(2.06075938-2.06071144)×2.29783639441594e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29783639441594e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29783639441594e-05×40589641000000     		ar = 33395.143172985m²