Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108524 / 100210
↖ ↑ ↗
← S 68.514156°
E118.070068°		 ← 111.87 m → S 68.514156°
E118.072815°		 →
↑
111.81 m
↓
↑
111.81 m
↓
S 68.515161°
E118.070068°		 ← 111.86 m →
12 508 m²		 S 68.515161°
E118.072815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100210 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827976226806641 y=0.764545440673828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827976226806641 × 217)
    floor (0.827976226806641 × 131072)
    floor (108524.5)     		tx = 108524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764545440673828 × 217)
    floor (0.764545440673828 × 131072)
    floor (100210.5)     		ty = 100210
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108524 / 100210 ti = "17/108524/100210"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108524/100210.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108524 ÷ 217
    108524 ÷ 131072     		x = 0.827972412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100210 ÷ 217
    100210 ÷ 131072     		y = 0.764541625976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827972412109375 × 2 - 1) × π
    0.65594482421875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06071144
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    -0.529083251953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66216405742583
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06071144} λ = 2.06071144}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66216405742583))-π/2
    2×atan(0.189727953332866)-π/2
    2×0.187499365456361-π/2
    0.374998730912722-1.57079632675     		φ = -1.19579760
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06071144} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.070068°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19579760 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.514156°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108524 KachelY 100210 2.06071144 -1.19579760 118.070068 -68.514156
    Oben rechts KachelX + 1 108525 KachelY 100210 2.06075938 -1.19579760 118.072815 -68.514156
    Unten links KachelX 108524 KachelY + 1 100211 2.06071144 -1.19581515 118.070068 -68.515161
    Unten rechts KachelX + 1 108525 KachelY + 1 100211 2.06075938 -1.19581515 118.072815 -68.515161
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19579760--1.19581515) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dl = 111.811050000916m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19579760--1.19581515) × R
    1.75500000001438e-05 × 6371000     		dr = 111.811050000916m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06071144-2.06075938) × cos(-1.19579760) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366271344358698 × 6371000     		do = 111.868696391477m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06071144-2.06075938) × cos(-1.19581515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366255013885343 × 6371000     		du = 111.863708644568m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19579760)-sin(-1.19581515))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366271344358698-0.366255013885343)×R²
    abs(2.06075938-2.06071144)×1.63304733543645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63304733543645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63304733543645e-05×40589641000000     		ar = 12507.8775634475m²