Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108523 / 42451
↖ ↑ ↗
← N 53.404620°
E118.067322°		 ← 182.08 m → N 53.404620°
E118.070068°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.402982°
E118.067322°		 ← 182.09 m →
33 155 m²		 N 53.402982°
E118.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42451 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827968597412109 y=0.323879241943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827968597412109 × 217)
    floor (0.827968597412109 × 131072)
    floor (108523.5)     		tx = 108523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323879241943359 × 217)
    floor (0.323879241943359 × 131072)
    floor (42451.5)     		ty = 42451
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108523 / 42451 ti = "17/108523/42451"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108523/42451.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108523 ÷ 217
    108523 ÷ 131072     		x = 0.827964782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42451 ÷ 217
    42451 ÷ 131072     		y = 0.323875427246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827964782714844 × 2 - 1) × π
    0.655929565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.06066350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323875427246094 × 2 - 1) × π
    0.352249145507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.106623327729
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06066350} λ = 2.06066350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.106623327729))-π/2
    2×atan(3.02412963987978)-π/2
    2×1.25144139015214-π/2
    2.50288278030427-1.57079632675     		φ = 0.93208645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06066350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.067322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93208645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.404620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108523 KachelY 42451 2.06066350 0.93208645 118.067322 53.404620
    Oben rechts KachelX + 1 108524 KachelY 42451 2.06071144 0.93208645 118.070068 53.404620
    Unten links KachelX 108523 KachelY + 1 42452 2.06066350 0.93205787 118.067322 53.402982
    Unten rechts KachelX + 1 108524 KachelY + 1 42452 2.06071144 0.93205787 118.070068 53.402982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93208645-0.93205787) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dl = 182.083180000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93208645-0.93205787) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dr = 182.083180000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(0.93208645) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59616014230817 × 6371000     		do = 182.082652622859m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(0.93205787) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596183087961991 × 6371000     		du = 182.089660816157m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93208645)-sin(0.93205787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59616014230817-0.596183087961991)×R²
    abs(2.06071144-2.06066350)×2.29456538207717e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29456538207717e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29456538207717e-05×40589641000000     		ar = 33154.8264518076m²