Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108523 / 101641
↖ ↑ ↗
← S 69.908611°
E118.067322°		 ← 104.92 m → S 69.908611°
E118.070068°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.909554°
E118.067322°		 ← 104.91 m →
11 002 m²		 S 69.909554°
E118.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827968597412109 y=0.775463104248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827968597412109 × 217)
    floor (0.827968597412109 × 131072)
    floor (108523.5)     		tx = 108523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775463104248047 × 217)
    floor (0.775463104248047 × 131072)
    floor (101641.5)     		ty = 101641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108523 / 101641 ti = "17/108523/101641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108523/101641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108523 ÷ 217
    108523 ÷ 131072     		x = 0.827964782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101641 ÷ 217
    101641 ÷ 131072     		y = 0.775459289550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827964782714844 × 2 - 1) × π
    0.655929565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.06066350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775459289550781 × 2 - 1) × π
    -0.550918579101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.73076176078213
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06066350} λ = 2.06066350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73076176078213))-π/2
    2×atan(0.177149413083275)-π/2
    2×0.17533044586791-π/2
    0.35066089173582-1.57079632675     		φ = -1.22013544
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06066350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.067322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22013544 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.908611°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108523 KachelY 101641 2.06066350 -1.22013544 118.067322 -69.908611
    Oben rechts KachelX + 1 108524 KachelY 101641 2.06071144 -1.22013544 118.070068 -69.908611
    Unten links KachelX 108523 KachelY + 1 101642 2.06066350 -1.22015190 118.067322 -69.909554
    Unten rechts KachelX + 1 108524 KachelY + 1 101642 2.06071144 -1.22015190 118.070068 -69.909554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22013544--1.22015190) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22013544--1.22015190) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(-1.22013544) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343518551547698 × 6371000     		do = 104.919407810115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(-1.22015190) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343503093159797 × 6371000     		du = 104.914686420551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22013544)-sin(-1.22015190))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343518551547698-0.343503093159797)×R²
    abs(2.06071144-2.06066350)×1.5458387901679e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5458387901679e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5458387901679e-05×40589641000000     		ar = 11002.3003084304m²