Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108523 / 100208
↖ ↑ ↗
← S 68.512143°
E118.067322°		 ← 111.88 m → S 68.512143°
E118.070068°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.513150°
E118.067322°		 ← 111.87 m →
12 516 m²		 S 68.513150°
E118.070068°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108523 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100208 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827968597412109 y=0.764530181884766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827968597412109 × 217)
    floor (0.827968597412109 × 131072)
    floor (108523.5)     		tx = 108523
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764530181884766 × 217)
    floor (0.764530181884766 × 131072)
    floor (100208.5)     		ty = 100208
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108523 / 100208 ti = "17/108523/100208"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108523/100208.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108523 ÷ 217
    108523 ÷ 131072     		x = 0.827964782714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100208 ÷ 217
    100208 ÷ 131072     		y = 0.7645263671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827964782714844 × 2 - 1) × π
    0.655929565429688 × 3.1415926535     		Λ = 2.06066350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.529052734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.66206818362659
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06066350} λ = 2.06066350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66206818362659))-π/2
    2×atan(0.189746144144571)-π/2
    2×0.187516924152415-π/2
    0.37503384830483-1.57079632675     		φ = -1.19576248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06066350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.067322°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19576248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.512143°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108523 KachelY 100208 2.06066350 -1.19576248 118.067322 -68.512143
    Oben rechts KachelX + 1 108524 KachelY 100208 2.06071144 -1.19576248 118.070068 -68.512143
    Unten links KachelX 108523 KachelY + 1 100209 2.06066350 -1.19578004 118.067322 -68.513150
    Unten rechts KachelX + 1 108524 KachelY + 1 100209 2.06071144 -1.19578004 118.070068 -68.513150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19576248--1.19578004) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19576248--1.19578004) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(-1.19576248) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366304023576868 × 6371000     		do = 111.878677465869m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06066350-2.06071144) × cos(-1.19578004) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366287684024256 × 6371000     		du = 111.873686945921m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19576248)-sin(-1.19578004))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366304023576868-0.366287684024256)×R²
    abs(2.06071144-2.06066350)×1.63395526122656e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63395526122656e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63395526122656e-05×40589641000000     		ar = 12516.1210343449m²