Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108520 / 42293
↖ ↑ ↗
← N 53.662544°
E118.059082°		 ← 180.98 m → N 53.662544°
E118.061829°		 →
↑
180.94 m
↓
↑
180.94 m
↓
N 53.660916°
E118.059082°		 ← 180.98 m →
32 746 m²		 N 53.660916°
E118.061829°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827945709228516 y=0.322673797607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827945709228516 × 217)
    floor (0.827945709228516 × 131072)
    floor (108520.5)     		tx = 108520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322673797607422 × 217)
    floor (0.322673797607422 × 131072)
    floor (42293.5)     		ty = 42293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108520 / 42293 ti = "17/108520/42293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108520/42293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108520 ÷ 217
    108520 ÷ 131072     		x = 0.82794189453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42293 ÷ 217
    42293 ÷ 131072     		y = 0.322669982910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82794189453125 × 2 - 1) × π
    0.6558837890625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06051969
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322669982910156 × 2 - 1) × π
    0.354660034179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.11419735786897
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06051969} λ = 2.06051969}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11419735786897))-π/2
    2×atan(3.04712144933619)-π/2
    2×1.25369219950733-π/2
    2.50738439901465-1.57079632675     		φ = 0.93658807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06051969} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.059082°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93658807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.662544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108520 KachelY 42293 2.06051969 0.93658807 118.059082 53.662544
    Oben rechts KachelX + 1 108521 KachelY 42293 2.06056763 0.93658807 118.061829 53.662544
    Unten links KachelX 108520 KachelY + 1 42294 2.06051969 0.93655967 118.059082 53.660916
    Unten rechts KachelX + 1 108521 KachelY + 1 42294 2.06056763 0.93655967 118.061829 53.660916
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93658807-0.93655967) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dl = 180.936400000252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93658807-0.93655967) × R
    2.84000000000395e-05 × 6371000     		dr = 180.936400000252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06051969-2.06056763) × cos(0.93658807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592539918458285 × 6371000     		do = 180.976943074543m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06051969-2.06056763) × cos(0.93655967) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592562795586231 × 6371000     		du = 180.983930338275m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93658807)-sin(0.93655967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592539918458285-0.592562795586231)×R²
    abs(2.06056763-2.06051969)×2.28771279467965e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28771279467965e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28771279467965e-05×40589641000000     		ar = 32745.9486902862m²