Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108519 / 101615
↖ ↑ ↗
← S 69.884066°
E118.056336°		 ← 105.02 m → S 69.884066°
E118.059082°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.885010°
E118.056336°		 ← 105.02 m →
11 026 m²		 S 69.885010°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827938079833984 y=0.775264739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827938079833984 × 217)
    floor (0.827938079833984 × 131072)
    floor (108519.5)     		tx = 108519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775264739990234 × 217)
    floor (0.775264739990234 × 131072)
    floor (101615.5)     		ty = 101615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108519 / 101615 ti = "17/108519/101615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108519/101615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108519 ÷ 217
    108519 ÷ 131072     		x = 0.827934265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101615 ÷ 217
    101615 ÷ 131072     		y = 0.775260925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827934265136719 × 2 - 1) × π
    0.655868530273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.06047176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775260925292969 × 2 - 1) × π
    -0.550521850585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.72951540139201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06047176} λ = 2.06047176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72951540139201))-π/2
    2×atan(0.177370342567895)-π/2
    2×0.175544644987459-π/2
    0.351089289974919-1.57079632675     		φ = -1.21970704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06047176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.056336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21970704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.884066°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108519 KachelY 101615 2.06047176 -1.21970704 118.056336 -69.884066
    Oben rechts KachelX + 1 108520 KachelY 101615 2.06051969 -1.21970704 118.059082 -69.884066
    Unten links KachelX 108519 KachelY + 1 101616 2.06047176 -1.21972352 118.056336 -69.885010
    Unten rechts KachelX + 1 108520 KachelY + 1 101616 2.06051969 -1.21972352 118.059082 -69.885010
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21970704--1.21972352) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21970704--1.21972352) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06047176-2.06051969) × cos(-1.21970704) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343920850112744 × 6371000     		do = 105.020368949818m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06047176-2.06051969) × cos(-1.21972352) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.343905375368429 × 6371000     		du = 105.01564355048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21970704)-sin(-1.21972352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343920850112744-0.343905375368429)×R²
    abs(2.06051969-2.06047176)×1.54747443150138e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54747443150138e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54747443150138e-05×40589641000000     		ar = 11026.2689498644m²