Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108519 / 100234
↖ ↑ ↗
← S 68.538286°
E118.056336°		 ← 111.73 m → S 68.538286°
E118.059082°		 →
↑
111.75 m
↓
↑
111.75 m
↓
S 68.539291°
E118.056336°		 ← 111.72 m →
12 485 m²		 S 68.539291°
E118.059082°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100234 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827938079833984 y=0.764728546142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827938079833984 × 217)
    floor (0.827938079833984 × 131072)
    floor (108519.5)     		tx = 108519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764728546142578 × 217)
    floor (0.764728546142578 × 131072)
    floor (100234.5)     		ty = 100234
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108519 / 100234 ti = "17/108519/100234"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108519/100234.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108519 ÷ 217
    108519 ÷ 131072     		x = 0.827934265136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100234 ÷ 217
    100234 ÷ 131072     		y = 0.764724731445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827934265136719 × 2 - 1) × π
    0.655868530273438 × 3.1415926535     		Λ = 2.06047176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764724731445312 × 2 - 1) × π
    -0.529449462890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66331454301671
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06047176} λ = 2.06047176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66331454301671))-π/2
    2×atan(0.189509799571811)-π/2
    2×0.187288783246414-π/2
    0.374577566492827-1.57079632675     		φ = -1.19621876
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06047176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.056336°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19621876 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.538286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108519 KachelY 100234 2.06047176 -1.19621876 118.056336 -68.538286
    Oben rechts KachelX + 1 108520 KachelY 100234 2.06051969 -1.19621876 118.059082 -68.538286
    Unten links KachelX 108519 KachelY + 1 100235 2.06047176 -1.19623630 118.056336 -68.539291
    Unten rechts KachelX + 1 108520 KachelY + 1 100235 2.06051969 -1.19623630 118.059082 -68.539291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19621876--1.19623630) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dl = 111.747339999889m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19621876--1.19623630) × R
    1.75399999999826e-05 × 6371000     		dr = 111.747339999889m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06047176-2.06051969) × cos(-1.19621876) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365879419100009 × 6371000     		do = 111.725682151668m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06047176-2.06051969) × cos(-1.19623630) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.365863095227608 × 6371000     		du = 111.720697460854m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19621876)-sin(-1.19623630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.365879419100009-0.365863095227608)×R²
    abs(2.06051969-2.06047176)×1.63238724012471e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63238724012471e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63238724012471e-05×40589641000000     		ar = 12484.7692774689m²