Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108518 / 101610
↖ ↑ ↗
← S 69.879342°
E118.053589°		 ← 105.07 m → S 69.879342°
E118.056336°		 →
↑
104.99 m
↓
↑
104.99 m
↓
S 69.880286°
E118.053589°		 ← 105.06 m →
11 031 m²		 S 69.880286°
E118.056336°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827930450439453 y=0.775226593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827930450439453 × 217)
    floor (0.827930450439453 × 131072)
    floor (108518.5)     		tx = 108518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775226593017578 × 217)
    floor (0.775226593017578 × 131072)
    floor (101610.5)     		ty = 101610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108518 / 101610 ti = "17/108518/101610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108518/101610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108518 ÷ 217
    108518 ÷ 131072     		x = 0.827926635742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101610 ÷ 217
    101610 ÷ 131072     		y = 0.775222778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827926635742188 × 2 - 1) × π
    0.655853271484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.06042382
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775222778320312 × 2 - 1) × π
    -0.550445556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72927571689391
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06042382} λ = 2.06042382}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72927571689391))-π/2
    2×atan(0.177412860584683)-π/2
    2×0.175585865874426-π/2
    0.351171731748852-1.57079632675     		φ = -1.21962460
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06042382} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.053589°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21962460 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.879342°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108518 KachelY 101610 2.06042382 -1.21962460 118.053589 -69.879342
    Oben rechts KachelX + 1 108519 KachelY 101610 2.06047176 -1.21962460 118.056336 -69.879342
    Unten links KachelX 108518 KachelY + 1 101611 2.06042382 -1.21964108 118.053589 -69.880286
    Unten rechts KachelX + 1 108519 KachelY + 1 101611 2.06047176 -1.21964108 118.056336 -69.880286
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21962460--1.21964108) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dl = 104.994079999907m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21962460--1.21964108) × R
    1.64799999999854e-05 × 6371000     		dr = 104.994079999907m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06042382-2.06047176) × cos(-1.21962460) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343998259991963 × 6371000     		do = 105.065923116689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06042382-2.06047176) × cos(-1.21964108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343982785714945 × 6371000     		du = 105.06119687418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21962460)-sin(-1.21964108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343998259991963-0.343982785714945)×R²
    abs(2.06047176-2.06042382)×1.5474277018257e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5474277018257e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5474277018257e-05×40589641000000     		ar = 11031.0518234058m²