Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108517 / 100181
↖ ↑ ↗
← S 68.484963°
E118.050842°		 ← 112.01 m → S 68.484963°
E118.053589°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.485970°
E118.050842°		 ← 112.01 m →
12 545 m²		 S 68.485970°
E118.053589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100181 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827922821044922 y=0.764324188232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827922821044922 × 217)
    floor (0.827922821044922 × 131072)
    floor (108517.5)     		tx = 108517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764324188232422 × 217)
    floor (0.764324188232422 × 131072)
    floor (100181.5)     		ty = 100181
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108517 / 100181 ti = "17/108517/100181"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108517/100181.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108517 ÷ 217
    108517 ÷ 131072     		x = 0.827919006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100181 ÷ 217
    100181 ÷ 131072     		y = 0.764320373535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827919006347656 × 2 - 1) × π
    0.655838012695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.06037588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764320373535156 × 2 - 1) × π
    -0.528640747070312 × 3.1415926535     		Φ = -1.66077388733685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06037588} λ = 2.06037588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66077388733685))-π/2
    2×atan(0.189991890875165)-π/2
    2×0.187754119916843-π/2
    0.375508239833685-1.57079632675     		φ = -1.19528809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06037588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.050842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19528809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.484963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108517 KachelY 100181 2.06037588 -1.19528809 118.050842 -68.484963
    Oben rechts KachelX + 1 108518 KachelY 100181 2.06042382 -1.19528809 118.053589 -68.484963
    Unten links KachelX 108517 KachelY + 1 100182 2.06037588 -1.19530567 118.050842 -68.485970
    Unten rechts KachelX + 1 108518 KachelY + 1 100182 2.06042382 -1.19530567 118.053589 -68.485970
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19528809--1.19530567) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19528809--1.19530567) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06037588-2.06042382) × cos(-1.19528809) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36674539997213 × 6371000     		do = 112.01348517801m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06037588-2.06042382) × cos(-1.19530567) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36672904486615 × 6371000     		du = 112.008489907664m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19528809)-sin(-1.19530567))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.36674539997213-0.36672904486615)×R²
    abs(2.06042382-2.06037588)×1.63551059794709e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63551059794709e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63551059794709e-05×40589641000000     		ar = 12545.4747889758m²