Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108517 / 100005
↖ ↑ ↗
← S 68.306981°
E118.050842°		 ← 112.90 m → S 68.306981°
E118.053589°		 →
↑
112.89 m
↓
↑
112.89 m
↓
S 68.307996°
E118.050842°		 ← 112.89 m →
12 745 m²		 S 68.307996°
E118.053589°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108517 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827922821044922 y=0.762981414794922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827922821044922 × 217)
    floor (0.827922821044922 × 131072)
    floor (108517.5)     		tx = 108517
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762981414794922 × 217)
    floor (0.762981414794922 × 131072)
    floor (100005.5)     		ty = 100005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108517 / 100005 ti = "17/108517/100005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108517/100005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108517 ÷ 217
    108517 ÷ 131072     		x = 0.827919006347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100005 ÷ 217
    100005 ÷ 131072     		y = 0.762977600097656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827919006347656 × 2 - 1) × π
    0.655838012695312 × 3.1415926535     		Λ = 2.06037588
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762977600097656 × 2 - 1) × π
    -0.525955200195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65233699300372
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06037588} λ = 2.06037588}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65233699300372))-π/2
    2×atan(0.191601613363415)-π/2
    2×0.189307301042093-π/2
    0.378614602084185-1.57079632675     		φ = -1.19218172
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06037588} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.050842°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19218172 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.306981°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108517 KachelY 100005 2.06037588 -1.19218172 118.050842 -68.306981
    Oben rechts KachelX + 1 108518 KachelY 100005 2.06042382 -1.19218172 118.053589 -68.306981
    Unten links KachelX 108517 KachelY + 1 100006 2.06037588 -1.19219944 118.050842 -68.307996
    Unten rechts KachelX + 1 108518 KachelY + 1 100006 2.06042382 -1.19219944 118.053589 -68.307996
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19218172--1.19219944) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dl = 112.894119999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19218172--1.19219944) × R
    1.77199999999988e-05 × 6371000     		dr = 112.894119999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06037588-2.06042382) × cos(-1.19218172) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369633548192159 × 6371000     		do = 112.895599985342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06037588-2.06042382) × cos(-1.19219944) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369617083106792 × 6371000     		du = 112.890571124459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19218172)-sin(-1.19219944))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369633548192159-0.369617083106792)×R²
    abs(2.06042382-2.06037588)×1.64650853675119e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64650853675119e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64650853675119e-05×40589641000000     		ar = 12744.9655480683m²