Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108516 / 101699
↖ ↑ ↗
← S 69.963263°
E118.048096°		 ← 104.62 m → S 69.963263°
E118.050842°		 →
↑
104.61 m
↓
↑
104.61 m
↓
S 69.964204°
E118.048096°		 ← 104.62 m →
10 945 m²		 S 69.964204°
E118.050842°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101699 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827915191650391 y=0.775905609130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827915191650391 × 217)
    floor (0.827915191650391 × 131072)
    floor (108516.5)     		tx = 108516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775905609130859 × 217)
    floor (0.775905609130859 × 131072)
    floor (101699.5)     		ty = 101699
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108516 / 101699 ti = "17/108516/101699"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108516/101699.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108516 ÷ 217
    108516 ÷ 131072     		x = 0.827911376953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101699 ÷ 217
    101699 ÷ 131072     		y = 0.775901794433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827911376953125 × 2 - 1) × π
    0.65582275390625 × 3.1415926535     		Λ = 2.06032795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775901794433594 × 2 - 1) × π
    -0.551803588867188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73354210096009
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06032795} λ = 2.06032795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73354210096009))-π/2
    2×atan(0.176657561526745)-π/2
    2×0.174853519651291-π/2
    0.349707039302582-1.57079632675     		φ = -1.22108929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06032795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.048096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22108929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.963263°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108516 KachelY 101699 2.06032795 -1.22108929 118.048096 -69.963263
    Oben rechts KachelX + 1 108517 KachelY 101699 2.06037588 -1.22108929 118.050842 -69.963263
    Unten links KachelX 108516 KachelY + 1 101700 2.06032795 -1.22110571 118.048096 -69.964204
    Unten rechts KachelX + 1 108517 KachelY + 1 101700 2.06037588 -1.22110571 118.050842 -69.964204
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22108929--1.22110571) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dl = 104.611819999401m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22108929--1.22110571) × R
    1.6419999999906e-05 × 6371000     		dr = 104.611819999401m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06032795-2.06037588) × cos(-1.22108929) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.342622591103625 × 6371000     		do = 104.623929943327m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06032795-2.06037588) × cos(-1.22110571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34260716490866 × 6371000     		du = 104.619219369117m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22108929)-sin(-1.22110571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342622591103625-0.34260716490866)×R²
    abs(2.06037588-2.06032795)×1.54261949653067e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.54261949653067e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.54261949653067e-05×40589641000000     		ar = 10944.6533361711m²