Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108514 / 100186
↖ ↑ ↗
← S 68.489999°
E118.042602°		 ← 111.99 m → S 68.489999°
E118.045349°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.491006°
E118.042602°		 ← 111.98 m →
12 543 m²		 S 68.491006°
E118.045349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100186 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827899932861328 y=0.764362335205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827899932861328 × 217)
    floor (0.827899932861328 × 131072)
    floor (108514.5)     		tx = 108514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764362335205078 × 217)
    floor (0.764362335205078 × 131072)
    floor (100186.5)     		ty = 100186
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108514 / 100186 ti = "17/108514/100186"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108514/100186.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108514 ÷ 217
    108514 ÷ 131072     		x = 0.827896118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100186 ÷ 217
    100186 ÷ 131072     		y = 0.764358520507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827896118164062 × 2 - 1) × π
    0.655792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06023207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764358520507812 × 2 - 1) × π
    -0.528717041015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.66101357183495
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06023207} λ = 2.06023207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66101357183495))-π/2
    2×atan(0.189946358221111)-π/2
    2×0.187710173222877-π/2
    0.375420346445754-1.57079632675     		φ = -1.19537598
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06023207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.042602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19537598 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.489999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108514 KachelY 100186 2.06023207 -1.19537598 118.042602 -68.489999
    Oben rechts KachelX + 1 108515 KachelY 100186 2.06028001 -1.19537598 118.045349 -68.489999
    Unten links KachelX 108514 KachelY + 1 100187 2.06023207 -1.19539356 118.042602 -68.491006
    Unten rechts KachelX + 1 108515 KachelY + 1 100187 2.06028001 -1.19539356 118.045349 -68.491006
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19537598--1.19539356) × R
    1.75800000001836e-05 × 6371000     		dl = 112.002180001169m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19537598--1.19539356) × R
    1.75800000001836e-05 × 6371000     		dr = 112.002180001169m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06023207-2.06028001) × cos(-1.19537598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366663632612419 × 6371000     		do = 111.988511321663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06023207-2.06028001) × cos(-1.19539356) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366647276939855 × 6371000     		du = 111.983515878267m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19537598)-sin(-1.19539356))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366663632612419-0.366647276939855)×R²
    abs(2.06028001-2.06023207)×1.63556725644165e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63556725644165e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63556725644165e-05×40589641000000     		ar = 12542.6776531958m²