Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108514 / 100176
↖ ↑ ↗
← S 68.479925°
E118.042602°		 ← 112.04 m → S 68.479925°
E118.045349°		 →
↑
112.07 m
↓
↑
112.07 m
↓
S 68.480933°
E118.042602°		 ← 112.03 m →
12 555 m²		 S 68.480933°
E118.045349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100176 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827899932861328 y=0.764286041259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827899932861328 × 217)
    floor (0.827899932861328 × 131072)
    floor (108514.5)     		tx = 108514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764286041259766 × 217)
    floor (0.764286041259766 × 131072)
    floor (100176.5)     		ty = 100176
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108514 / 100176 ti = "17/108514/100176"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108514/100176.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108514 ÷ 217
    108514 ÷ 131072     		x = 0.827896118164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100176 ÷ 217
    100176 ÷ 131072     		y = 0.7642822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827896118164062 × 2 - 1) × π
    0.655792236328125 × 3.1415926535     		Λ = 2.06023207
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.528564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.66053420283875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06023207} λ = 2.06023207}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66053420283875))-π/2
    2×atan(0.190037434443998)-π/2
    2×0.187798076411293-π/2
    0.375596152822586-1.57079632675     		φ = -1.19520017
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06023207} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.042602°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19520017 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.479925°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108514 KachelY 100176 2.06023207 -1.19520017 118.042602 -68.479925
    Oben rechts KachelX + 1 108515 KachelY 100176 2.06028001 -1.19520017 118.045349 -68.479925
    Unten links KachelX 108514 KachelY + 1 100177 2.06023207 -1.19521776 118.042602 -68.480933
    Unten rechts KachelX + 1 108515 KachelY + 1 100177 2.06028001 -1.19521776 118.045349 -68.480933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19520017--1.19521776) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dl = 112.065890000782m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19520017--1.19521776) × R
    1.75900000001228e-05 × 6371000     		dr = 112.065890000782m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06023207-2.06028001) × cos(-1.19520017) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366827192407533 × 6371000     		do = 112.03846669312m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06023207-2.06028001) × cos(-1.19521776) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366810828565503 × 6371000     		du = 112.033468754558m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19520017)-sin(-1.19521776))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366827192407533-0.366810828565503)×R²
    abs(2.06028001-2.06023207)×1.63638420305201e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63638420305201e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63638420305201e-05×40589641000000     		ar = 12555.4104355252m²