Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108513 / 100185
↖ ↑ ↗
← S 68.488991°
E118.039856°		 ← 111.99 m → S 68.488991°
E118.042602°		 →
↑
112 m
↓
↑
112 m
↓
S 68.489999°
E118.039856°		 ← 111.99 m →
12 543 m²		 S 68.489999°
E118.042602°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108513 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100185 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827892303466797 y=0.764354705810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827892303466797 × 217)
    floor (0.827892303466797 × 131072)
    floor (108513.5)     		tx = 108513
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764354705810547 × 217)
    floor (0.764354705810547 × 131072)
    floor (100185.5)     		ty = 100185
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108513 / 100185 ti = "17/108513/100185"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108513/100185.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108513 ÷ 217
    108513 ÷ 131072     		x = 0.827888488769531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100185 ÷ 217
    100185 ÷ 131072     		y = 0.764350891113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827888488769531 × 2 - 1) × π
    0.655776977539062 × 3.1415926535     		Λ = 2.06018413
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764350891113281 × 2 - 1) × π
    -0.528701782226562 × 3.1415926535     		Φ = -1.66096563493533
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06018413} λ = 2.06018413}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66096563493533))-π/2
    2×atan(0.189955463878865)-π/2
    2×0.18771896177772-π/2
    0.37543792355544-1.57079632675     		φ = -1.19535840
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06018413} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.039856°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19535840 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.488991°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108513 KachelY 100185 2.06018413 -1.19535840 118.039856 -68.488991
    Oben rechts KachelX + 1 108514 KachelY 100185 2.06023207 -1.19535840 118.042602 -68.488991
    Unten links KachelX 108513 KachelY + 1 100186 2.06018413 -1.19537598 118.039856 -68.489999
    Unten rechts KachelX + 1 108514 KachelY + 1 100186 2.06023207 -1.19537598 118.042602 -68.489999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19535840--1.19537598) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dl = 112.002179999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19535840--1.19537598) × R
    1.75799999999615e-05 × 6371000     		dr = 112.002179999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06018413-2.06023207) × cos(-1.19535840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366679988171664 × 6371000     		do = 111.993506730448m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06018413-2.06023207) × cos(-1.19537598) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366663632612419 × 6371000     		du = 111.988511321663m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19535840)-sin(-1.19537598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366679988171664-0.366663632612419)×R²
    abs(2.06023207-2.06018413)×1.63555592445075e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63555592445075e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63555592445075e-05×40589641000000     		ar = 12543.2371516864m²