Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108512 / 42458
↖ ↑ ↗
← N 53.393157°
E118.037109°		 ← 182.09 m → N 53.393157°
E118.039856°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.391518°
E118.037109°		 ← 182.10 m →
33 168 m²		 N 53.391518°
E118.039856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827884674072266 y=0.323932647705078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827884674072266 × 217)
    floor (0.827884674072266 × 131072)
    floor (108512.5)     		tx = 108512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323932647705078 × 217)
    floor (0.323932647705078 × 131072)
    floor (42458.5)     		ty = 42458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108512 / 42458 ti = "17/108512/42458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108512/42458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108512 ÷ 217
    108512 ÷ 131072     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42458 ÷ 217
    42458 ÷ 131072     		y = 0.323928833007812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323928833007812 × 2 - 1) × π
    0.352142333984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10628776943166
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10628776943166))-π/2
    2×atan(3.02311503832539)-π/2
    2×1.25134135343738-π/2
    2.50268270687476-1.57079632675     		φ = 0.93188638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93188638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.393157°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108512 KachelY 42458 2.06013620 0.93188638 118.037109 53.393157
    Oben rechts KachelX + 1 108513 KachelY 42458 2.06018413 0.93188638 118.039856 53.393157
    Unten links KachelX 108512 KachelY + 1 42459 2.06013620 0.93185779 118.037109 53.391518
    Unten rechts KachelX + 1 108513 KachelY + 1 42459 2.06018413 0.93185779 118.039856 53.391518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93188638-0.93185779) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93188638-0.93185779) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06018413) × cos(0.93188638) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596320759685308 × 6371000     		do = 182.093717708759m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06018413) × cos(0.93185779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596343709957052 × 6371000     		du = 182.100725850328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93188638)-sin(0.93185779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596320759685308-0.596343709957052)×R²
    abs(2.06018413-2.06013620)×2.29502717440377e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29502717440377e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29502717440377e-05×40589641000000     		ar = 33168.4426270116m²