Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108512 / 100209
↖ ↑ ↗
← S 68.513150°
E118.037109°		 ← 111.85 m → S 68.513150°
E118.039856°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.514156°
E118.037109°		 ← 111.85 m →
12 513 m²		 S 68.514156°
E118.039856°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100209 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827884674072266 y=0.764537811279297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827884674072266 × 217)
    floor (0.827884674072266 × 131072)
    floor (108512.5)     		tx = 108512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764537811279297 × 217)
    floor (0.764537811279297 × 131072)
    floor (100209.5)     		ty = 100209
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108512 / 100209 ti = "17/108512/100209"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108512/100209.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108512 ÷ 217
    108512 ÷ 131072     		x = 0.827880859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100209 ÷ 217
    100209 ÷ 131072     		y = 0.764533996582031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827880859375 × 2 - 1) × π
    0.65576171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06013620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764533996582031 × 2 - 1) × π
    -0.529067993164062 × 3.1415926535     		Φ = -1.66211612052621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06013620} λ = 2.06013620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66211612052621))-π/2
    2×atan(0.189737048520716)-π/2
    2×0.187508144608585-π/2
    0.37501628921717-1.57079632675     		φ = -1.19578004
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06013620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.037109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19578004 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.513150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108512 KachelY 100209 2.06013620 -1.19578004 118.037109 -68.513150
    Oben rechts KachelX + 1 108513 KachelY 100209 2.06018413 -1.19578004 118.039856 -68.513150
    Unten links KachelX 108512 KachelY + 1 100210 2.06013620 -1.19579760 118.037109 -68.514156
    Unten rechts KachelX + 1 108513 KachelY + 1 100210 2.06018413 -1.19579760 118.039856 -68.514156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19578004--1.19579760) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19578004--1.19579760) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06013620-2.06018413) × cos(-1.19578004) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366287684024256 × 6371000     		do = 111.850350757714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06013620-2.06018413) × cos(-1.19579760) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366271344358698 × 6371000     		du = 111.845361244269m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19578004)-sin(-1.19579760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366287684024256-0.366271344358698)×R²
    abs(2.06018413-2.06013620)×1.63396655581405e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63396655581405e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63396655581405e-05×40589641000000     		ar = 12512.952046852m²