Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108511 / 42460
↖ ↑ ↗
← N 53.389881°
E118.034363°		 ← 182.15 m → N 53.389881°
E118.037109°		 →
↑
182.15 m
↓
↑
182.15 m
↓
N 53.388243°
E118.034363°		 ← 182.15 m →
33 178 m²		 N 53.388243°
E118.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42460 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827877044677734 y=0.323947906494141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827877044677734 × 217)
    floor (0.827877044677734 × 131072)
    floor (108511.5)     		tx = 108511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323947906494141 × 217)
    floor (0.323947906494141 × 131072)
    floor (42460.5)     		ty = 42460
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108511 / 42460 ti = "17/108511/42460"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108511/42460.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108511 ÷ 217
    108511 ÷ 131072     		x = 0.827873229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42460 ÷ 217
    42460 ÷ 131072     		y = 0.323944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827873229980469 × 2 - 1) × π
    0.655746459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.06008826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323944091796875 × 2 - 1) × π
    0.35211181640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10619189563242
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06008826} λ = 2.06008826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10619189563242))-π/2
    2×atan(3.0228252146946)-π/2
    2×1.25131276656896-π/2
    2.50262553313791-1.57079632675     		φ = 0.93182921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06008826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.034363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93182921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.389881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108511 KachelY 42460 2.06008826 0.93182921 118.034363 53.389881
    Oben rechts KachelX + 1 108512 KachelY 42460 2.06013620 0.93182921 118.037109 53.389881
    Unten links KachelX 108511 KachelY + 1 42461 2.06008826 0.93180062 118.034363 53.388243
    Unten rechts KachelX + 1 108512 KachelY + 1 42461 2.06013620 0.93180062 118.037109 53.388243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93182921-0.93180062) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dl = 182.146889999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93182921-0.93180062) × R
    2.8589999999995e-05 × 6371000     		dr = 182.146889999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06008826-2.06013620) × cos(0.93182921) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		do = 182.145725911021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06008826-2.06013620) × cos(0.93180062) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.596389601011237 × 6371000     		du = 182.152735217042m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93182921)-sin(0.93180062))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.59636665171423-0.596389601011237)×R²
    abs(2.06013620-2.06008826)×2.2949297007302e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.2949297007302e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.2949297007302e-05×40589641000000     		ar = 33177.9158653028m²