Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108511 / 101601
↖ ↑ ↗
← S 69.870837°
E118.034363°		 ← 105.11 m → S 69.870837°
E118.037109°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
S 69.871782°
E118.034363°		 ← 105.10 m →
11 049 m²		 S 69.871782°
E118.037109°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827877044677734 y=0.775157928466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827877044677734 × 217)
    floor (0.827877044677734 × 131072)
    floor (108511.5)     		tx = 108511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775157928466797 × 217)
    floor (0.775157928466797 × 131072)
    floor (101601.5)     		ty = 101601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108511 / 101601 ti = "17/108511/101601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108511/101601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108511 ÷ 217
    108511 ÷ 131072     		x = 0.827873229980469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101601 ÷ 217
    101601 ÷ 131072     		y = 0.775154113769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827873229980469 × 2 - 1) × π
    0.655746459960938 × 3.1415926535     		Λ = 2.06008826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775154113769531 × 2 - 1) × π
    -0.550308227539062 × 3.1415926535     		Φ = -1.72884428479733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06008826} λ = 2.06008826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72884428479733))-π/2
    2×atan(0.177489418700712)-π/2
    2×0.175660086852937-π/2
    0.351320173705873-1.57079632675     		φ = -1.21947615
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06008826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.034363°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21947615 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.870837°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108511 KachelY 101601 2.06008826 -1.21947615 118.034363 -69.870837
    Oben rechts KachelX + 1 108512 KachelY 101601 2.06013620 -1.21947615 118.037109 -69.870837
    Unten links KachelX 108511 KachelY + 1 101602 2.06008826 -1.21949265 118.034363 -69.871782
    Unten rechts KachelX + 1 108512 KachelY + 1 101602 2.06013620 -1.21949265 118.037109 -69.871782
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21947615--1.21949265) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21947615--1.21949265) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06008826-2.06013620) × cos(-1.21947615) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344137646339925 × 6371000     		do = 105.108495295161m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06008826-2.06013620) × cos(-1.21949265) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344122154126138 × 6371000     		du = 105.103763574301m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21947615)-sin(-1.21949265))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344137646339925-0.344122154126138)×R²
    abs(2.06013620-2.06008826)×1.54922137878266e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54922137878266e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54922137878266e-05×40589641000000     		ar = 11048.913985791m²