Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108510 / 100003
↖ ↑ ↗
← S 68.304950°
E118.031616°		 ← 112.91 m → S 68.304950°
E118.034363°		 →
↑
112.96 m
↓
↑
112.96 m
↓
S 68.305966°
E118.031616°		 ← 112.90 m →
12 753 m²		 S 68.305966°
E118.034363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827869415283203 y=0.762966156005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827869415283203 × 217)
    floor (0.827869415283203 × 131072)
    floor (108510.5)     		tx = 108510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762966156005859 × 217)
    floor (0.762966156005859 × 131072)
    floor (100003.5)     		ty = 100003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108510 / 100003 ti = "17/108510/100003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108510/100003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108510 ÷ 217
    108510 ÷ 131072     		x = 0.827865600585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100003 ÷ 217
    100003 ÷ 131072     		y = 0.762962341308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827865600585938 × 2 - 1) × π
    0.655731201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.06004032
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762962341308594 × 2 - 1) × π
    -0.525924682617188 × 3.1415926535     		Φ = -1.65224111920448
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.06004032} λ = 2.06004032}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65224111920448))-π/2
    2×atan(0.191619983818637)-π/2
    2×0.18932502091744-π/2
    0.37865004183488-1.57079632675     		φ = -1.19214628
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.06004032} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.031616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19214628 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.304950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108510 KachelY 100003 2.06004032 -1.19214628 118.031616 -68.304950
    Oben rechts KachelX + 1 108511 KachelY 100003 2.06008826 -1.19214628 118.034363 -68.304950
    Unten links KachelX 108510 KachelY + 1 100004 2.06004032 -1.19216401 118.031616 -68.305966
    Unten rechts KachelX + 1 108511 KachelY + 1 100004 2.06008826 -1.19216401 118.034363 -68.305966
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19214628--1.19216401) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dl = 112.957829999605m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19214628--1.19216401) × R
    1.77299999999381e-05 × 6371000     		dr = 112.957829999605m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.06004032-2.06008826) × cos(-1.19214628) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369666478014696 × 6371000     		do = 112.905657600758m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.06004032-2.06008826) × cos(-1.19216401) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.369650003869752 × 6371000     		du = 112.900625972848m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19214628)-sin(-1.19216401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.369666478014696-0.369650003869752)×R²
    abs(2.06008826-2.06004032)×1.64741449442674e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.64741449442674e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.64741449442674e-05×40589641000000     		ar = 12753.2938966143m²