Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108509 / 42459
↖ ↑ ↗
← N 53.391518°
E118.028870°		 ← 182.10 m → N 53.391518°
E118.031616°		 →
↑
182.08 m
↓
↑
182.08 m
↓
N 53.389881°
E118.028870°		 ← 182.11 m →
33 158 m²		 N 53.389881°
E118.031616°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108509 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42459 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827861785888672 y=0.323940277099609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827861785888672 × 217)
    floor (0.827861785888672 × 131072)
    floor (108509.5)     		tx = 108509
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.323940277099609 × 217)
    floor (0.323940277099609 × 131072)
    floor (42459.5)     		ty = 42459
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108509 / 42459 ti = "17/108509/42459"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108509/42459.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108509 ÷ 217
    108509 ÷ 131072     		x = 0.827857971191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42459 ÷ 217
    42459 ÷ 131072     		y = 0.323936462402344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827857971191406 × 2 - 1) × π
    0.655715942382812 × 3.1415926535     		Λ = 2.05999239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.323936462402344 × 2 - 1) × π
    0.352127075195312 × 3.1415926535     		Φ = 1.10623983253204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05999239} λ = 2.05999239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10623983253204))-π/2
    2×atan(3.02297012303668)-π/2
    2×1.25132706027818-π/2
    2.50265412055635-1.57079632675     		φ = 0.93185779
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05999239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.028870°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93185779 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.391518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108509 KachelY 42459 2.05999239 0.93185779 118.028870 53.391518
    Oben rechts KachelX + 1 108510 KachelY 42459 2.06004032 0.93185779 118.031616 53.391518
    Unten links KachelX 108509 KachelY + 1 42460 2.05999239 0.93182921 118.028870 53.389881
    Unten rechts KachelX + 1 108510 KachelY + 1 42460 2.06004032 0.93182921 118.031616 53.389881
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93185779-0.93182921) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dl = 182.083180000355m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93185779-0.93182921) × R
    2.85800000000558e-05 × 6371000     		dr = 182.083180000355m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05999239-2.06004032) × cos(0.93185779) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.596343709957052 × 6371000     		do = 182.100725850328m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05999239-2.06004032) × cos(0.93182921) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.59636665171423 × 6371000     		du = 182.107731391872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93185779)-sin(0.93182921))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.596343709957052-0.59636665171423)×R²
    abs(2.06004032-2.05999239)×2.29417571780965e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.29417571780965e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.29417571780965e-05×40589641000000     		ar = 33158.1170411168m²