Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108508 / 101612
↖ ↑ ↗
← S 69.881231°
E118.026123°		 ← 105.06 m → S 69.881231°
E118.028870°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.882176°
E118.026123°		 ← 105.05 m →
11 037 m²		 S 69.882176°
E118.028870°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827854156494141 y=0.775241851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827854156494141 × 217)
    floor (0.827854156494141 × 131072)
    floor (108508.5)     		tx = 108508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775241851806641 × 217)
    floor (0.775241851806641 × 131072)
    floor (101612.5)     		ty = 101612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108508 / 101612 ti = "17/108508/101612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108508/101612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108508 ÷ 217
    108508 ÷ 131072     		x = 0.827850341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101612 ÷ 217
    101612 ÷ 131072     		y = 0.775238037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827850341796875 × 2 - 1) × π
    0.65570068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05994445
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775238037109375 × 2 - 1) × π
    -0.55047607421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.72937159069315
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05994445} λ = 2.05994445}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72937159069315))-π/2
    2×atan(0.177395852155049)-π/2
    2×0.175569376406371-π/2
    0.351138752812743-1.57079632675     		φ = -1.21965757
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05994445} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.026123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21965757 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.881231°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108508 KachelY 101612 2.05994445 -1.21965757 118.026123 -69.881231
    Oben rechts KachelX + 1 108509 KachelY 101612 2.05999239 -1.21965757 118.028870 -69.881231
    Unten links KachelX 108508 KachelY + 1 101613 2.05994445 -1.21967406 118.026123 -69.882176
    Unten rechts KachelX + 1 108509 KachelY + 1 101613 2.05999239 -1.21967406 118.028870 -69.882176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21965757--1.21967406) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dl = 105.05778999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21965757--1.21967406) × R
    1.64899999999246e-05 × 6371000     		dr = 105.05778999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05994445-2.05999239) × cos(-1.21965757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		do = 105.056467735245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05994445-2.05999239) × cos(-1.21967406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.3439518181009 × 6371000     		du = 105.051738567744m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21965757)-sin(-1.21967406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343967301954688-0.3439518181009)×R²
    abs(2.05999239-2.05994445)×1.54838537884672e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54838537884672e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54838537884672e-05×40589641000000     		ar = 11036.751907671m²