Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108507 / 101611
↖ ↑ ↗
← S 69.880286°
E118.023376°		 ← 105.06 m → S 69.880286°
E118.026123°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.881231°
E118.023376°		 ← 105.06 m →
11 037 m²		 S 69.881231°
E118.026123°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108507 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827846527099609 y=0.775234222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827846527099609 × 217)
    floor (0.827846527099609 × 131072)
    floor (108507.5)     		tx = 108507
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775234222412109 × 217)
    floor (0.775234222412109 × 131072)
    floor (101611.5)     		ty = 101611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108507 / 101611 ti = "17/108507/101611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108507/101611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108507 ÷ 217
    108507 ÷ 131072     		x = 0.827842712402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101611 ÷ 217
    101611 ÷ 131072     		y = 0.775230407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827842712402344 × 2 - 1) × π
    0.655685424804688 × 3.1415926535     		Λ = 2.05989651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775230407714844 × 2 - 1) × π
    -0.550460815429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.72932365379353
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05989651} λ = 2.05989651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72932365379353))-π/2
    2×atan(0.177404356166033)-π/2
    2×0.175577620954844-π/2
    0.351155241909689-1.57079632675     		φ = -1.21964108
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05989651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.023376°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21964108 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.880286°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108507 KachelY 101611 2.05989651 -1.21964108 118.023376 -69.880286
    Oben rechts KachelX + 1 108508 KachelY 101611 2.05994445 -1.21964108 118.026123 -69.880286
    Unten links KachelX 108507 KachelY + 1 101612 2.05989651 -1.21965757 118.023376 -69.881231
    Unten rechts KachelX + 1 108508 KachelY + 1 101612 2.05994445 -1.21965757 118.026123 -69.881231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21964108--1.21965757) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21964108--1.21965757) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05989651-2.05994445) × cos(-1.21964108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343982785714945 × 6371000     		do = 105.06119687418m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05989651-2.05994445) × cos(-1.21965757) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343967301954688 × 6371000     		du = 105.056467735245m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21964108)-sin(-1.21965757))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343982785714945-0.343967301954688)×R²
    abs(2.05994445-2.05989651)×1.54837602570623e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54837602570623e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54837602570623e-05×40589641000000     		ar = 11037.2487422788m²