Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108505 / 100211
↖ ↑ ↗
← S 68.515161°
E118.017883°		 ← 111.86 m → S 68.515161°
E118.020630°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.516167°
E118.017883°		 ← 111.86 m →
12 514 m²		 S 68.516167°
E118.020630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827831268310547 y=0.764553070068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827831268310547 × 217)
    floor (0.827831268310547 × 131072)
    floor (108505.5)     		tx = 108505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764553070068359 × 217)
    floor (0.764553070068359 × 131072)
    floor (100211.5)     		ty = 100211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108505 / 100211 ti = "17/108505/100211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108505/100211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108505 ÷ 217
    108505 ÷ 131072     		x = 0.827827453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100211 ÷ 217
    100211 ÷ 131072     		y = 0.764549255371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827827453613281 × 2 - 1) × π
    0.655654907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05980064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764549255371094 × 2 - 1) × π
    -0.529098510742188 × 3.1415926535     		Φ = -1.66221199432545
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05980064} λ = 2.05980064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66221199432545))-π/2
    2×atan(0.189718858581001)-π/2
    2×0.187490586695728-π/2
    0.374981173391456-1.57079632675     		φ = -1.19581515
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05980064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.017883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19581515 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.515161°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108505 KachelY 100211 2.05980064 -1.19581515 118.017883 -68.515161
    Oben rechts KachelX + 1 108506 KachelY 100211 2.05984858 -1.19581515 118.020630 -68.515161
    Unten links KachelX 108505 KachelY + 1 100212 2.05980064 -1.19583271 118.017883 -68.516167
    Unten rechts KachelX + 1 108506 KachelY + 1 100212 2.05984858 -1.19583271 118.020630 -68.516167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19581515--1.19583271) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19581515--1.19583271) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05980064-2.05984858) × cos(-1.19581515) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366255013885343 × 6371000     		do = 111.863708644568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05980064-2.05984858) × cos(-1.19583271) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366238673993972 × 6371000     		du = 111.858718021154m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19581515)-sin(-1.19583271))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366255013885343-0.366238673993972)×R²
    abs(2.05984858-2.05980064)×1.63398913710089e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63398913710089e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63398913710089e-05×40589641000000     		ar = 12514.446395092m²