Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108505 / 100203
↖ ↑ ↗
← S 68.507112°
E118.017883°		 ← 111.90 m → S 68.507112°
E118.020630°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.508118°
E118.017883°		 ← 111.90 m →
12 519 m²		 S 68.508118°
E118.020630°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108505 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100203 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827831268310547 y=0.764492034912109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827831268310547 × 217)
    floor (0.827831268310547 × 131072)
    floor (108505.5)     		tx = 108505
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764492034912109 × 217)
    floor (0.764492034912109 × 131072)
    floor (100203.5)     		ty = 100203
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108505 / 100203 ti = "17/108505/100203"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108505/100203.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108505 ÷ 217
    108505 ÷ 131072     		x = 0.827827453613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100203 ÷ 217
    100203 ÷ 131072     		y = 0.764488220214844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827827453613281 × 2 - 1) × π
    0.655654907226562 × 3.1415926535     		Λ = 2.05980064
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764488220214844 × 2 - 1) × π
    -0.528976440429688 × 3.1415926535     		Φ = -1.66182849912849
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05980064} λ = 2.05980064}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66182849912849))-π/2
    2×atan(0.189791628804663)-π/2
    2×0.187560827746172-π/2
    0.375121655492344-1.57079632675     		φ = -1.19567467
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05980064} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.017883°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19567467 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.507112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108505 KachelY 100203 2.05980064 -1.19567467 118.017883 -68.507112
    Oben rechts KachelX + 1 108506 KachelY 100203 2.05984858 -1.19567467 118.020630 -68.507112
    Unten links KachelX 108505 KachelY + 1 100204 2.05980064 -1.19569223 118.017883 -68.508118
    Unten rechts KachelX + 1 108506 KachelY + 1 100204 2.05984858 -1.19569223 118.020630 -68.508118
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19567467--1.19569223) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19567467--1.19569223) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05980064-2.05984858) × cos(-1.19567467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366385728950192 × 6371000     		do = 111.903632389978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05980064-2.05984858) × cos(-1.19569223) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.36636938996245 × 6371000     		du = 111.898642042556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19567467)-sin(-1.19569223))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366385728950192-0.36636938996245)×R²
    abs(2.05984858-2.05980064)×1.63389877415598e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63389877415598e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63389877415598e-05×40589641000000     		ar = 12518.9128699302m²