Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108504 / 42298
↖ ↑ ↗
← N 53.654406°
E118.015137°		 ← 181.01 m → N 53.654406°
E118.017883°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.652778°
E118.015137°		 ← 181.02 m →
32 764 m²		 N 53.652778°
E118.017883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42298 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827823638916016 y=0.322711944580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827823638916016 × 217)
    floor (0.827823638916016 × 131072)
    floor (108504.5)     		tx = 108504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322711944580078 × 217)
    floor (0.322711944580078 × 131072)
    floor (42298.5)     		ty = 42298
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108504 / 42298 ti = "17/108504/42298"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108504/42298.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108504 ÷ 217
    108504 ÷ 131072     		x = 0.82781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42298 ÷ 217
    42298 ÷ 131072     		y = 0.322708129882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82781982421875 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05975270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322708129882812 × 2 - 1) × π
    0.354583740234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.11395767337086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05975270} λ = 2.05975270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11395767337086))-π/2
    2×atan(3.04639118908049)-π/2
    2×1.25362118133558-π/2
    2.50724236267116-1.57079632675     		φ = 0.93644604
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05975270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.015137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93644604 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.654406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108504 KachelY 42298 2.05975270 0.93644604 118.015137 53.654406
    Oben rechts KachelX + 1 108505 KachelY 42298 2.05980064 0.93644604 118.017883 53.654406
    Unten links KachelX 108504 KachelY + 1 42299 2.05975270 0.93641763 118.015137 53.652778
    Unten rechts KachelX + 1 108505 KachelY + 1 42299 2.05980064 0.93641763 118.017883 53.652778
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93644604-0.93641763) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93644604-0.93641763) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05975270-2.05980064) × cos(0.93644604) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		do = 181.011885313622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05975270-2.05980064) × cos(0.93641763) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.592677206274138 × 6371000     		du = 181.018874307293m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93644604)-sin(0.93641763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592654323482168-0.592677206274138)×R²
    abs(2.05980064-2.05975270)×2.28827919709351e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.28827919709351e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.28827919709351e-05×40589641000000     		ar = 32763.8036595808m²