Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 108504 / 101608
↖ ↑ ↗
← S 69.877452°
E118.015137°		 ← 105.08 m → S 69.877452°
E118.017883°		 →
↑
105.06 m
↓
↑
105.06 m
↓
S 69.878397°
E118.015137°		 ← 105.07 m →
11 039 m²		 S 69.878397°
E118.017883°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108504 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827823638916016 y=0.775211334228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827823638916016 × 217)
    floor (0.827823638916016 × 131072)
    floor (108504.5)     		tx = 108504
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775211334228516 × 217)
    floor (0.775211334228516 × 131072)
    floor (101608.5)     		ty = 101608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108504 / 101608 ti = "17/108504/101608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108504/101608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108504 ÷ 217
    108504 ÷ 131072     		x = 0.82781982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101608 ÷ 217
    101608 ÷ 131072     		y = 0.77520751953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.82781982421875 × 2 - 1) × π
    0.6556396484375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05975270
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.5504150390625 × 3.1415926535     		Φ = -1.72917984309467
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05975270} λ = 2.05975270}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.72917984309467))-π/2
    2×atan(0.177429870645058)-π/2
    2×0.175602356826973-π/2
    0.351204713653947-1.57079632675     		φ = -1.21959161
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05975270} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.015137°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.21959161 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.877452°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108504 KachelY 101608 2.05975270 -1.21959161 118.015137 -69.877452
    Oben rechts KachelX + 1 108505 KachelY 101608 2.05980064 -1.21959161 118.017883 -69.877452
    Unten links KachelX 108504 KachelY + 1 101609 2.05975270 -1.21960810 118.015137 -69.878397
    Unten rechts KachelX + 1 108505 KachelY + 1 101609 2.05980064 -1.21960810 118.017883 -69.878397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.21959161--1.21960810) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dl = 105.057790000934m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.21959161--1.21960810) × R
    1.64900000001467e-05 × 6371000     		dr = 105.057790000934m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05975270-2.05980064) × cos(-1.21959161) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344029236434484 × 6371000     		do = 105.075384119568m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05975270-2.05980064) × cos(-1.21960810) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344013752954847 × 6371000     		du = 105.070655066342m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.21959161)-sin(-1.21960810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344029236434484-0.344013752954847)×R²
    abs(2.05980064-2.05975270)×1.54834796369796e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54834796369796e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54834796369796e-05×40589641000000     		ar = 11038.7392273074m²