Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108503 / 42297
↖ ↑ ↗
← N 53.656034°
E118.012390°		 ← 180.97 m → N 53.656034°
E118.015137°		 →
↑
181 m
↓
↑
181 m
↓
N 53.654406°
E118.012390°		 ← 180.97 m →
32 756 m²		 N 53.654406°
E118.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42297 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827816009521484 y=0.322704315185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827816009521484 × 217)
    floor (0.827816009521484 × 131072)
    floor (108503.5)     		tx = 108503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.322704315185547 × 217)
    floor (0.322704315185547 × 131072)
    floor (42297.5)     		ty = 42297
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108503 / 42297 ti = "17/108503/42297"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108503/42297.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108503 ÷ 217
    108503 ÷ 131072     		x = 0.827812194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42297 ÷ 217
    42297 ÷ 131072     		y = 0.322700500488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827812194824219 × 2 - 1) × π
    0.655624389648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05970477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.322700500488281 × 2 - 1) × π
    0.354598999023438 × 3.1415926535     		Φ = 1.11400561027048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05970477} λ = 2.05970477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.11400561027048))-π/2
    2×atan(3.0465372271294)-π/2
    2×1.25363538606683-π/2
    2.50727077213366-1.57079632675     		φ = 0.93647445
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05970477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.012390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.93647445 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.656034°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108503 KachelY 42297 2.05970477 0.93647445 118.012390 53.656034
    Oben rechts KachelX + 1 108504 KachelY 42297 2.05975270 0.93647445 118.015137 53.656034
    Unten links KachelX 108503 KachelY + 1 42298 2.05970477 0.93644604 118.012390 53.654406
    Unten rechts KachelX + 1 108504 KachelY + 1 42298 2.05975270 0.93644604 118.015137 53.654406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.93647445-0.93644604) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dl = 181.000109999864m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.93647445-0.93644604) × R
    2.84099999999787e-05 × 6371000     		dr = 181.000109999864m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05970477-2.05975270) × cos(0.93647445) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592631440211849 × 6371000     		do = 180.967139625024m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05970477-2.05975270) × cos(0.93644604) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.592654323482168 × 6371000     		du = 180.974127306902m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.93647445)-sin(0.93644604))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.592631440211849-0.592654323482168)×R²
    abs(2.05975270-2.05970477)×2.2883270318963e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.2883270318963e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.2883270318963e-05×40589641000000     		ar = 32755.7045664169m²