Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108503 / 100207
↖ ↑ ↗
← S 68.511137°
E118.012390°		 ← 111.86 m → S 68.511137°
E118.015137°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.512143°
E118.012390°		 ← 111.86 m →
12 514 m²		 S 68.512143°
E118.015137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108503 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827816009521484 y=0.764522552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827816009521484 × 217)
    floor (0.827816009521484 × 131072)
    floor (108503.5)     		tx = 108503
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764522552490234 × 217)
    floor (0.764522552490234 × 131072)
    floor (100207.5)     		ty = 100207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108503 / 100207 ti = "17/108503/100207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108503/100207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108503 ÷ 217
    108503 ÷ 131072     		x = 0.827812194824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100207 ÷ 217
    100207 ÷ 131072     		y = 0.764518737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827812194824219 × 2 - 1) × π
    0.655624389648438 × 3.1415926535     		Λ = 2.05970477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764518737792969 × 2 - 1) × π
    -0.529037475585938 × 3.1415926535     		Φ = -1.66202024672697
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05970477} λ = 2.05970477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66202024672697))-π/2
    2×atan(0.189755240204453)-π/2
    2×0.187525704087866-π/2
    0.375051408175732-1.57079632675     		φ = -1.19574492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05970477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.012390°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19574492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.511137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108503 KachelY 100207 2.05970477 -1.19574492 118.012390 -68.511137
    Oben rechts KachelX + 1 108504 KachelY 100207 2.05975270 -1.19574492 118.015137 -68.511137
    Unten links KachelX 108503 KachelY + 1 100208 2.05970477 -1.19576248 118.012390 -68.512143
    Unten rechts KachelX + 1 108504 KachelY + 1 100208 2.05975270 -1.19576248 118.015137 -68.512143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19574492--1.19576248) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dl = 111.874759999115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19574492--1.19576248) × R
    1.7559999999861e-05 × 6371000     		dr = 111.874759999115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05970477-2.05975270) × cos(-1.19574492) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366320363016529 × 6371000     		do = 111.860329681133m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05970477-2.05975270) × cos(-1.19576248) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.366304023576868 × 6371000     		du = 111.855340236669m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19574492)-sin(-1.19576248))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366320363016529-0.366304023576868)×R²
    abs(2.05975270-2.05970477)×1.63394396608951e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63394396608951e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63394396608951e-05×40589641000000     		ar = 12514.0684405791m²