Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108502 / 100133
↖ ↑ ↗
← S 68.436561°
E118.009644°		 ← 112.25 m → S 68.436561°
E118.012390°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.437570°
E118.009644°		 ← 112.25 m →
12 601 m²		 S 68.437570°
E118.012390°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100133 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827808380126953 y=0.763957977294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827808380126953 × 217)
    floor (0.827808380126953 × 131072)
    floor (108502.5)     		tx = 108502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763957977294922 × 217)
    floor (0.763957977294922 × 131072)
    floor (100133.5)     		ty = 100133
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108502 / 100133 ti = "17/108502/100133"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108502/100133.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108502 ÷ 217
    108502 ÷ 131072     		x = 0.827804565429688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100133 ÷ 217
    100133 ÷ 131072     		y = 0.763954162597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827804565429688 × 2 - 1) × π
    0.655609130859375 × 3.1415926535     		Λ = 2.05965683
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763954162597656 × 2 - 1) × π
    -0.527908325195312 × 3.1415926535     		Φ = -1.65847291615508
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05965683} λ = 2.05965683}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65847291615508))-π/2
    2×atan(0.190429560079849)-π/2
    2×0.188176507096831-π/2
    0.376353014193661-1.57079632675     		φ = -1.19444331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05965683} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 118.009644°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19444331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.436561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108502 KachelY 100133 2.05965683 -1.19444331 118.009644 -68.436561
    Oben rechts KachelX + 1 108503 KachelY 100133 2.05970477 -1.19444331 118.012390 -68.436561
    Unten links KachelX 108502 KachelY + 1 100134 2.05965683 -1.19446093 118.009644 -68.437570
    Unten rechts KachelX + 1 108503 KachelY + 1 100134 2.05970477 -1.19446093 118.012390 -68.437570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19444331--1.19446093) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19444331--1.19446093) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05965683-2.05970477) × cos(-1.19444331) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367531185882978 × 6371000     		do = 112.253484421313m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05965683-2.05970477) × cos(-1.19446093) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367514799028627 × 6371000     		du = 112.248479454196m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19444331)-sin(-1.19446093))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367531185882978-0.367514799028627)×R²
    abs(2.05970477-2.05965683)×1.63868543510692e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63868543510692e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63868543510692e-05×40589641000000     		ar = 12600.9607247429m²