Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 10850 / 4670
↖ ↑ ↗
← N 82.263178°
W120.399170°		 ← 82.23 m → N 82.263178°
W120.393677°		 →
↑
82.25 m
↓
↑
82.25 m
↓
N 82.262438°
W120.399170°		 ← 82.23 m →
6 763 m²		 N 82.262438°
W120.393677°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10850 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.165565490722656 y=0.0712661743164062 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.165565490722656 × 216)
    floor (0.165565490722656 × 65536)
    floor (10850.5)     		tx = 10850
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0712661743164062 × 216)
    floor (0.0712661743164062 × 65536)
    floor (4670.5)     		ty = 4670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 10850 / 4670 ti = "16/10850/4670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/10850/4670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10850 ÷ 216
    10850 ÷ 65536     		x = 0.165557861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4670 ÷ 216
    4670 ÷ 65536     		y = 0.071258544921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.165557861328125 × 2 - 1) × π
    -0.66888427734375 × 3.1415926535     		Λ = -2.10136193
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.071258544921875 × 2 - 1) × π
    0.85748291015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.69386201104868
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.10136193} λ = -2.10136193}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.69386201104868))-π/2
    2×atan(14.7886798196053)-π/2
    2×1.50327981706054-π/2
    3.00655963412107-1.57079632675     		φ = 1.43576331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.10136193} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -120.399170°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.43576331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.263178°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10850 KachelY 4670 -2.10136193 1.43576331 -120.399170 82.263178
    Oben rechts KachelX + 1 10851 KachelY 4670 -2.10126606 1.43576331 -120.393677 82.263178
    Unten links KachelX 10850 KachelY + 1 4671 -2.10136193 1.43575040 -120.399170 82.262438
    Unten rechts KachelX + 1 10851 KachelY + 1 4671 -2.10126606 1.43575040 -120.393677 82.262438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.43576331-1.43575040) × R
    1.29099999999216e-05 × 6371000     		dl = 82.2496099995005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.43576331-1.43575040) × R
    1.29099999999216e-05 × 6371000     		dr = 82.2496099995005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.10136193--2.10126606) × cos(1.43576331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.134623027319998 × 6371000     		do = 82.2260986474292m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.10136193--2.10126606) × cos(1.43575040) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.13463581978759 × 6371000     		du = 82.2339121301819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.43576331)-sin(1.43575040))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.134623027319998-0.13463581978759)×R²
    abs(-2.10126606--2.10136193)×1.27924675910607e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.27924675910607e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.27924675910607e-05×40589641000000     		ar = 6763.38587370676m²