Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 1085 / 63
↖ ↑ ↗
← N 84.549716°
W 84.638672°		 ← 928.26 m → N 84.549716°
W 84.550781°		 →
↑
929.02 m
↓
↑
929.02 m
↓
N 84.541361°
W 84.638672°		 ← 929.68 m →
863 028 m²		 N 84.541361°
W 84.550781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 1085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 63 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.2650146484375 y=0.0155029296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.2650146484375 × 212)
    floor (0.2650146484375 × 4096)
    floor (1085.5)     		tx = 1085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0155029296875 × 212)
    floor (0.0155029296875 × 4096)
    floor (63.5)     		ty = 63
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 1085 / 63 ti = "12/1085/63"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/1085/63.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 1085 ÷ 212
    1085 ÷ 4096     		x = 0.264892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 63 ÷ 212
    63 ÷ 4096     		y = 0.015380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.264892578125 × 2 - 1) × π
    -0.47021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.47722350
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.015380859375 × 2 - 1) × π
    0.96923828125 × 3.1415926535     		Φ = 3.04495186386597
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.47722350} λ = -1.47722350}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(3.04495186386597))-π/2
    2×atan(21.0090198855421)-π/2
    2×1.52323362175718-π/2
    3.04646724351436-1.57079632675     		φ = 1.47567092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.47722350} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -84.638672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.47567092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 84.549716°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 1085 KachelY 63 -1.47722350 1.47567092 -84.638672 84.549716
    Oben rechts KachelX + 1 1086 KachelY 63 -1.47568952 1.47567092 -84.550781 84.549716
    Unten links KachelX 1085 KachelY + 1 64 -1.47722350 1.47552510 -84.638672 84.541361
    Unten rechts KachelX + 1 1086 KachelY + 1 64 -1.47568952 1.47552510 -84.550781 84.541361
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.47567092-1.47552510) × R
    0.000145819999999963 × 6371000     		dl = 929.019219999766m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.47567092-1.47552510) × R
    0.000145819999999963 × 6371000     		dr = 929.019219999766m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.47722350--1.47568952) × cos(1.47567092) × R
    0.00153398000000005 × 0.0949820092105364 × 6371000     		do = 928.257901356036m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.47722350--1.47568952) × cos(1.47552510) × R
    0.00153398000000005 × 0.0951271689464025 × 6371000     		du = 929.676545506612m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.47567092)-sin(1.47552510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.0949820092105364-0.0951271689464025)×R²
    abs(-1.47568952--1.47722350)×0.00014515973586611×R²
    0.00153398000000005×0.00014515973586611×6371000²
    0.00153398000000005×0.00014515973586611×40589641000000     		ar = 863028.406844308m²