Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108497 / 101651
↖ ↑ ↗
← S 69.918044°
E117.995910°		 ← 104.87 m → S 69.918044°
E117.998657°		 →
↑
104.87 m
↓
↑
104.87 m
↓
S 69.918987°
E117.995910°		 ← 104.87 m →
10 997 m²		 S 69.918987°
E117.998657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108497 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 101651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827770233154297 y=0.775539398193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827770233154297 × 217)
    floor (0.827770233154297 × 131072)
    floor (108497.5)     		tx = 108497
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.775539398193359 × 217)
    floor (0.775539398193359 × 131072)
    floor (101651.5)     		ty = 101651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108497 / 101651 ti = "17/108497/101651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108497/101651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108497 ÷ 217
    108497 ÷ 131072     		x = 0.827766418457031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 101651 ÷ 217
    101651 ÷ 131072     		y = 0.775535583496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827766418457031 × 2 - 1) × π
    0.655532836914062 × 3.1415926535     		Λ = 2.05941714
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.775535583496094 × 2 - 1) × π
    -0.551071166992188 × 3.1415926535     		Φ = -1.73124112977833
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05941714} λ = 2.05941714}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73124112977833))-π/2
    2×atan(0.177064513497688)-π/2
    2×0.175248128326517-π/2
    0.350496256653033-1.57079632675     		φ = -1.22030007
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05941714} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.995910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22030007 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.918044°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108497 KachelY 101651 2.05941714 -1.22030007 117.995910 -69.918044
    Oben rechts KachelX + 1 108498 KachelY 101651 2.05946508 -1.22030007 117.998657 -69.918044
    Unten links KachelX 108497 KachelY + 1 101652 2.05941714 -1.22031653 117.995910 -69.918987
    Unten rechts KachelX + 1 108498 KachelY + 1 101652 2.05946508 -1.22031653 117.998657 -69.918987
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22030007--1.22031653) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dl = 104.866660000681m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22030007--1.22031653) × R
    1.64600000001069e-05 × 6371000     		dr = 104.866660000681m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05941714-2.05946508) × cos(-1.22030007) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343363935305149 × 6371000     		do = 104.872184029819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05941714-2.05946508) × cos(-1.22031653) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.343348475986608 × 6371000     		du = 104.867462356013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22030007)-sin(-1.22031653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.343363935305149-0.343348475986608)×R²
    abs(2.05946508-2.05941714)×1.54593185411889e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.54593185411889e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.54593185411889e-05×40589641000000     		ar = 10997.3480934451m²