Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108496 / 100138
↖ ↑ ↗
← S 68.441607°
E117.993164°		 ← 112.21 m → S 68.441607°
E117.995910°		 →
↑
112.26 m
↓
↑
112.26 m
↓
S 68.442617°
E117.993164°		 ← 112.20 m →
12 596 m²		 S 68.442617°
E117.995910°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827762603759766 y=0.763996124267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827762603759766 × 217)
    floor (0.827762603759766 × 131072)
    floor (108496.5)     		tx = 108496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763996124267578 × 217)
    floor (0.763996124267578 × 131072)
    floor (100138.5)     		ty = 100138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108496 / 100138 ti = "17/108496/100138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108496/100138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108496 ÷ 217
    108496 ÷ 131072     		x = 0.8277587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100138 ÷ 217
    100138 ÷ 131072     		y = 0.763992309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8277587890625 × 2 - 1) × π
    0.655517578125 × 3.1415926535     		Λ = 2.05936921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763992309570312 × 2 - 1) × π
    -0.527984619140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.65871260065318
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05936921} λ = 2.05936921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65871260065318))-π/2
    2×atan(0.190383922535842)-π/2
    2×0.188132466242005-π/2
    0.37626493248401-1.57079632675     		φ = -1.19453139
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05936921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.993164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19453139 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.441607°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108496 KachelY 100138 2.05936921 -1.19453139 117.993164 -68.441607
    Oben rechts KachelX + 1 108497 KachelY 100138 2.05941714 -1.19453139 117.995910 -68.441607
    Unten links KachelX 108496 KachelY + 1 100139 2.05936921 -1.19454901 117.993164 -68.442617
    Unten rechts KachelX + 1 108497 KachelY + 1 100139 2.05941714 -1.19454901 117.995910 -68.442617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19453139--1.19454901) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dl = 112.257019999621m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19453139--1.19454901) × R
    1.76199999999405e-05 × 6371000     		dr = 112.257019999621m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05936921-2.05941714) × cos(-1.19453139) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.367449269071142 × 6371000     		do = 112.205054725649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05936921-2.05941714) × cos(-1.19454901) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.36743288164647 × 6371000     		du = 112.200050628385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19453139)-sin(-1.19454901))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367449269071142-0.36743288164647)×R²
    abs(2.05941714-2.05936921)×1.63874246719709e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.63874246719709e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.63874246719709e-05×40589641000000     		ar = 12595.5242001429m²