Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108494 / 100206
↖ ↑ ↗
← S 68.510131°
E117.987671°		 ← 111.89 m → S 68.510131°
E117.990417°		 →
↑
111.87 m
↓
↑
111.87 m
↓
S 68.511137°
E117.987671°		 ← 111.88 m →
12 517 m²		 S 68.511137°
E117.990417°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827747344970703 y=0.764514923095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827747344970703 × 217)
    floor (0.827747344970703 × 131072)
    floor (108494.5)     		tx = 108494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.764514923095703 × 217)
    floor (0.764514923095703 × 131072)
    floor (100206.5)     		ty = 100206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108494 / 100206 ti = "17/108494/100206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108494/100206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108494 ÷ 217
    108494 ÷ 131072     		x = 0.827743530273438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100206 ÷ 217
    100206 ÷ 131072     		y = 0.764511108398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827743530273438 × 2 - 1) × π
    0.655487060546875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05927333
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.764511108398438 × 2 - 1) × π
    -0.529022216796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.66197230982735
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05927333} λ = 2.05927333}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.66197230982735))-π/2
    2×atan(0.189764336700383)-π/2
    2×0.187534484414952-π/2
    0.375068968829904-1.57079632675     		φ = -1.19572736
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05927333} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.987671°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19572736 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.510131°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108494 KachelY 100206 2.05927333 -1.19572736 117.987671 -68.510131
    Oben rechts KachelX + 1 108495 KachelY 100206 2.05932127 -1.19572736 117.990417 -68.510131
    Unten links KachelX 108494 KachelY + 1 100207 2.05927333 -1.19574492 117.987671 -68.511137
    Unten rechts KachelX + 1 108495 KachelY + 1 100207 2.05932127 -1.19574492 117.990417 -68.511137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19572736--1.19574492) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dl = 111.874760000529m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19572736--1.19574492) × R
    1.75600000000831e-05 × 6371000     		dr = 111.874760000529m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05927333-2.05932127) × cos(-1.19572736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366336702343234 × 6371000     		do = 111.888658402269m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05927333-2.05932127) × cos(-1.19574492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.366320363016529 × 6371000     		du = 111.883667951319m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19572736)-sin(-1.19574492))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.366336702343234-0.366320363016529)×R²
    abs(2.05932127-2.05927333)×1.63393267049172e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63393267049172e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63393267049172e-05×40589641000000     		ar = 12517.2376530005m²