Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 108492 / 100137
↖ ↑ ↗
← S 68.440598°
E117.982178°		 ← 112.23 m → S 68.440598°
E117.984924°		 →
↑
112.19 m
↓
↑
112.19 m
↓
S 68.441607°
E117.982178°		 ← 112.23 m →
12 592 m²		 S 68.441607°
E117.984924°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 108492 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 100137 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.827732086181641 y=0.763988494873047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.827732086181641 × 217)
    floor (0.827732086181641 × 131072)
    floor (108492.5)     		tx = 108492
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.763988494873047 × 217)
    floor (0.763988494873047 × 131072)
    floor (100137.5)     		ty = 100137
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 108492 / 100137 ti = "17/108492/100137"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/108492/100137.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 108492 ÷ 217
    108492 ÷ 131072     		x = 0.827728271484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 100137 ÷ 217
    100137 ÷ 131072     		y = 0.763984680175781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.827728271484375 × 2 - 1) × π
    0.65545654296875 × 3.1415926535     		Λ = 2.05917746
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.763984680175781 × 2 - 1) × π
    -0.527969360351562 × 3.1415926535     		Φ = -1.65866466375356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.05917746} λ = 2.05917746}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.65866466375356))-π/2
    2×atan(0.190393049169575)-π/2
    2×0.188141273627602-π/2
    0.376282547255204-1.57079632675     		φ = -1.19451378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.05917746} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 117.982178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19451378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.440598°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 108492 KachelY 100137 2.05917746 -1.19451378 117.982178 -68.440598
    Oben rechts KachelX + 1 108493 KachelY 100137 2.05922540 -1.19451378 117.984924 -68.440598
    Unten links KachelX 108492 KachelY + 1 100138 2.05917746 -1.19453139 117.982178 -68.441607
    Unten rechts KachelX + 1 108493 KachelY + 1 100138 2.05922540 -1.19453139 117.984924 -68.441607
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19451378--1.19453139) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dl = 112.193310000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19451378--1.19453139) × R
    1.76100000000012e-05 × 6371000     		dr = 112.193310000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.05917746-2.05922540) × cos(-1.19451378) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367465647081364 × 6371000     		do = 112.233467184331m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.05917746-2.05922540) × cos(-1.19453139) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.367449269071142 × 6371000     		du = 112.228464918439m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19451378)-sin(-1.19453139))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.367465647081364-0.367449269071142)×R²
    abs(2.05922540-2.05917746)×1.63780102211963e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.63780102211963e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.63780102211963e-05×40589641000000     		ar = 12591.5635662316m²