Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 10849 / 23458
↖ ↑ ↗
← S 61.111406°
W 60.809326°		 ← 590.18 m → S 61.111406°
W 60.798340°		 →
↑
590.15 m
↓
↑
590.15 m
↓
S 61.116713°
W 60.809326°		 ← 590.08 m →
348 265 m²		 S 61.116713°
W 60.798340°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 10849 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 23458 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.331100463867188 y=0.715896606445312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.331100463867188 × 215)
    floor (0.331100463867188 × 32768)
    floor (10849.5)     		tx = 10849
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.715896606445312 × 215)
    floor (0.715896606445312 × 32768)
    floor (23458.5)     		ty = 23458
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 10849 / 23458 ti = "15/10849/23458"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/10849/23458.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 10849 ÷ 215
    10849 ÷ 32768     		x = 0.331085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 23458 ÷ 215
    23458 ÷ 32768     		y = 0.71588134765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.331085205078125 × 2 - 1) × π
    -0.33782958984375 × 3.1415926535     		Λ = -1.06132296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.71588134765625 × 2 - 1) × π
    -0.4317626953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.35642251164911
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.06132296} λ = -1.06132296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.35642251164911))-π/2
    2×atan(0.257580622280161)-π/2
    2×0.252100542697672-π/2
    0.504201085395343-1.57079632675     		φ = -1.06659524
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.06132296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -60.809326°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.06659524 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.111406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 10849 KachelY 23458 -1.06132296 -1.06659524 -60.809326 -61.111406
    Oben rechts KachelX + 1 10850 KachelY 23458 -1.06113121 -1.06659524 -60.798340 -61.111406
    Unten links KachelX 10849 KachelY + 1 23459 -1.06132296 -1.06668787 -60.809326 -61.116713
    Unten rechts KachelX + 1 10850 KachelY + 1 23459 -1.06113121 -1.06668787 -60.798340 -61.116713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.06659524--1.06668787) × R
    9.26299999999269e-05 × 6371000     		dl = 590.145729999535m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.06659524--1.06668787) × R
    9.26299999999269e-05 × 6371000     		dr = 590.145729999535m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.06132296--1.06113121) × cos(-1.06659524) × R
    0.000191749999999935 × 0.48310809755593 × 6371000     		do = 590.183813966954m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.06132296--1.06113121) × cos(-1.06668787) × R
    0.000191749999999935 × 0.483026992294383 × 6371000     		du = 590.084732596066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.06659524)-sin(-1.06668787))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.48310809755593-0.483026992294383)×R²
    abs(-1.06113121--1.06132296)×8.1105261547143e-05×R²
    0.000191749999999935×8.1105261547143e-05×6371000²
    0.000191749999999935×8.1105261547143e-05×40589641000000     		ar = 348265.221752482m²